Question

7．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$|=2，且（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=-2，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由向量的平方即为模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}$|=2，且（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=-2，
可得$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=-2，
即为4+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-8=-2，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，同时考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．