Question

20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB．
（1）求角C；
（2）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，求角A，B．

Answer 1

分析 （1）根据三角恒等变换和正弦、余弦定理化简等式，求出cosC的值，即得C的值；
（2）由平面向量的数量积求出函数f（x），根据f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，得出f（$\frac{π}{3}$+x）=f（$\frac{π}{3}$-x），利用三角恒等变换得出sinx（-sinAsin$\frac{π}{3}$+cosBcos$\frac{π}{3}$）=0；再由sinx≠0，A+B=$\frac{π}{3}$，求出A、B的值．

解答 解：（1）△ABC中，cos²B-cos²C-sin²A=sinAsinB，
∴（1-sin²B）-（1-sin²C）-sin²A=sinAsinB，
∴sin²C-sin²B-sin²A=sinAsinB，
∴c²-b²-a²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-ab}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$；
（2）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosx+cosBsinx；
又f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴f（$\frac{π}{3}$+x）=f（$\frac{π}{3}$-x），
∴sinAcos（$\frac{π}{3}$+x）+cosBsin（$\frac{π}{3}$+x）=sinAcos（$\frac{π}{3}$-x）+cosBsin（$\frac{π}{3}$-x），
∴sinA[cos（$\frac{π}{3}$+x）-cos（$\frac{π}{3}$-x）]+cosB[sin（$\frac{π}{3}$+x）-sin（$\frac{π}{3}$-x）]=0，
∴-2sinAsin$\frac{π}{3}$sinx+2cosBcos$\frac{π}{3}$sinx=0，
∴2sinx（-sinAsin$\frac{π}{3}$+cosBcos$\frac{π}{3}$）=0；
又sinx≠0，∴sinAsin$\frac{π}{3}$-cosBcos$\frac{π}{3}$=0，
又B=$\frac{π}{3}$-A，∴sinAsin$\frac{π}{3}$-cos（$\frac{π}{3}$-A）cos$\frac{π}{3}$=0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinA-$\frac{1}{4}$cosA=0，
∴$\frac{1}{2}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=0，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=0；
又A∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=0，
∴A=$\frac{π}{6}$；
∴B=$\frac{π}{3}$-A=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了三角恒等变换和特殊角的三角函数值应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．