Question

19．在如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E是AC的中点．
（1）求证：A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）若AC=BC=2$\sqrt{2}$，AB=2BB₁=2，求二面角A-BA₁-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，连结EF，A₁F，推导出FA₁∥BB₁，EF∥CB，能证明平面A₁EF∥平面BB₁C₁C，由此证明A₁E∥平面BB₁C₁C．
（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BA₁-E的余弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A₁F，
∵AB=2A₁B₁，∴BF=A₁B₁，
∵A₁B₁∥AB，∴FA₁∥BB₁，
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥CB，
∵EF∩FA₁=F，∴平面A₁EF∥平面BB₁C₁C．
∴A₁E∥平面BB₁C₁C
解：（2）连结CF，则CF⊥AB，
以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），A₁（0，0，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{7}$，0，0），
∴E（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），
设平面A₁BE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{\sqrt{7}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3}{\sqrt{7}}$，1，1），
平面ABA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角A-BA₁-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\sqrt{\frac{23}{7}}}$=$\frac{3\sqrt{23}}{23}$．
∴二面角A-BA₁-E的余弦值为$\frac{3\sqrt{23}}{23}$．

点评 本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．