Question

17．在△ABC中，已知B（-5，0），C（5，0），且sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，则点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

Answer 1

分析 根据正弦定理，得点A到B的距离与点A到点C的距离之差为8，由此可得点A的轨迹是以B、C为焦点、实轴长为8的双曲线的右支，且右顶点除外，结合双曲线的基本概念即可算出所求轨迹方程．

解答 解：∵△ABC中，sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，
∴由正弦定理，得|AB|-|AC|=$\frac{3}{5}$|BC|
∵B（-5，0），C（5，0），得|BC|=10
∴|AB|-|AC|=6，
点A在以B、C为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，（右顶点除外）
可得c=5，a²=9，b²=c²-a²=16．
∴所求点A的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

点评 本题给出满足条件的三角形，求动点A的轨迹方程，着重考查了正弦定理与双曲线标准方程的求法等知识，属于中档题．