Question

12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求P点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．

Answer 1

分析 析：（1）圆心到直线的距离求半径．（2）由|PO|²=|PA|．|PB|平方化简得x²-y²=2，注意曲线是已知圆的内部．

解答 解：（Ⅰ） 依题设，圆O的半径r等于原点O到直线$x-\sqrt{3}y-4=0$的距离，
则$r=\frac{4}{{\sqrt{1+3}}}=2$，
得圆O的方程为x²+y²=4…（5分）
（Ⅱ）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，
由x²=4即得A（-2，0），B（2，0），
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}•\sqrt{{{（x-2）}^2}-{y^2}}={x^2}+{y^2}$，
即x²-y²=2…（9分）
由于点P在圆O内，故$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}＜4\\{x^2}-{y^2}=2\end{array}\right.$
由此得$-\sqrt{3}＜x≤-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}≤x＜\sqrt{3}$
所以所求轨迹方程为x²-y²=2（$-\sqrt{3}＜x≤-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}≤x＜\sqrt{3}$）…（11分）
即P点的轨迹为双曲线x²-y²=2
在圆x²+y²=4内的一部分…（12分）

点评 本题考查了直接法来求轨迹方程，平方化简是一个难点．对于题中条件“圆内O的定点P”这一条件要审清．