题目内容

设向量 $数学公式$ 满足 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的最大值等于

A.
2
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
4

D
分析：利用向量的数量积求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
解答：由 $\text{[math]}$ ，

可得 2×2×cos $\text{[math]}$ =-2，
∴cos $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =120°．
如图所示：设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
则∠AOB=120°；∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =4+4-2（-2）=12，∴| $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$ ．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R= $\text{[math]}$ =4，
当OC为直径时，它的模 $\text{[math]}$ 最大，最大为4，
故选D．
点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理，属于中档题．