Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{2}$-$\frac{a}{{e}^{x}}$，若对任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂时，[|f（x₁）|-|f（x₂）|]（x₁-x₂）＞0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{{e}^{2}}{4}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]
• B． [-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]
• C． [-$\frac{{e}^{2}}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{3}$]
• D． [-e²，e²]

Answer 1

分析 由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：由任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，由[|f（x₁）|-|f（x₂）|]（x₁-x₂）＞0，
则函数y=丨f（x）丨单调递增，
当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$，
当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令$\frac{{e}^{x}}{2}$=-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
解得：x=ln$\sqrt{-2a}$，
由对勾函数的单调递增区间为[ln$\sqrt{-2a}$，+∞），
故ln$\sqrt{-2a}$≤1，解得：-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a＜0，
综上可知：a的取值范围为[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]，
故选B．

点评 本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．