题目内容

6．已知数列{an}满足a1=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n=1，2，3…）．
（1）求a2，a3，a4，a5，并猜想通项公式an．
（2）根据（1）中的猜想，有下面的数阵：
S1=a1
S2=a2+a3
S3=a4+a5+a6
S4=a7+a8+a9+a10
S5=a11+a12+a13+a14+a15
试求S1，S1+S3，S1+S3+S5，并猜想S1+S3+S5+…+S2n-1的值．

分析 （1）根据所给递推式计算；
（2）计算前几个式子，根据规律猜想．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，∴an=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$（n≥2，n∈N+）．
∴a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，…
猜想：an=n．
（2）S1=a1=1=14，
S1+S3=a1+a4+a5+a6=1+4+5+6=16=42=24，
S1+S3+S5=16+a11+a12+a13+a14+a15=16+（11+12+13+14+15）=16+65=81=92=34．
猜想：S1+S3+S5+…+S2n-1=n4．

点评 本题考查了归纳推理，寻找已知条件或数据的规律是关键．

练习册系列答案
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