Question

10．甲、乙、丙三名高二学生计划利用今年“五一”三天小长假在附近的五个景点（五个景点分别是：荆州古城、三峡大坝、古隆中、明显陵、西游记公园）每人彼此独立地选三个景点游玩．其中甲同学必选明显陵，不选西游记公园，另从其余中随机任选两个；乙、丙两名同学从五个景点中随机任选三个．
（1）求甲同学选中三峡大坝景点且乙同学未选中三峡大坝景点的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中三峡大坝景点的人数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A为“甲同学选中三峡大坝景点”、事件B为“乙同学选中三峡大坝景点”，分别求出事件A和B的概率，由事件A与事件B相互独立，能求出甲同学选中三峡大坝景点且乙同学未选中三峡大坝景点的概率．
（2）设事件C为“丙同学选中三峡大坝景点”，求出事件C的概率，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设事件A为“甲同学选中三峡大坝景点”、事件B为“乙同学选中三峡大坝景点”，
则$p（A）=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$，$p（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，…（3分）
∵事件A与事件B相互独立，
∴甲同学选中三峡大坝景点且乙同学未选中三峡大坝景点的概率为：
$p（A\bar B）=P（A）P（\bar B）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．…．（5分）
（2）设事件C为“丙同学选中三峡大坝景点”，
则$p（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，
X的所有可能取值为0，1，2，3…．（7分）
$p（X=0）=P（\bar A\bar B\bar C）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$，
$P（X=1）=P（A\bar B\bar C）+P（\bar AB\bar C）+P（\bar A\bar BC）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$，
$P（X=2）=P（AB\bar C）+P（A\bar BC）+P（\bar ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$，
$p（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$，…（9分）
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分丰列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．