Question

4．已知曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），说明曲线C的形状，若是椭圆或双曲线，请说明焦点在哪个坐标轴上．

Answer 1

分析 由双曲线及椭圆的标准方程，分类讨论，即可求得曲线C的形状．

解答 解：曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\\{m＞2-m}\end{array}\right.$，解得：1＜m＜2，
即当1＜m＜2，曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦点在x轴上的椭圆，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＞0}\\{m＜2-m}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜1，
即0＜m＜1，曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦点在y轴上的椭圆，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2-m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＞2，
当m＞2，曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦点在y轴上的双曲线，
若$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{2-m＞0}\end{array}\right.$，解得：m＜0，
当m＜0，曲线C：$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1（m≠0，m≠2），表示焦点在x轴上的双曲线．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及焦点位置，考查学生对椭圆及双曲线标准方程的掌握，考查分类讨论思想，属于中档题．