Question

过双曲线的左焦点F₁且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使

AC

•

BC

=0，则双曲线离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF₁≥45°，利用tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，即可求得双曲线离心率e的取值范围．

解答： 解：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F₁（-c，0），则A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABC为直角三角形，
依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，
∴∠AOF₁≥45°，
∴tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，
整理得：（

c

a

）²-

c

a

-1≥0，即e²-e-1≥0，
解得：e≥

5 +1

2

．
即双曲线离心率e的取值范围为[

5 +1

2

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF₁≥45°是突破口，属于中档题．