Question

8．若存在两个正实数x，y使得等式3x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{3}{e}$]
• C． [$\frac{3}{e}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln $\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），令m=（t-2e）lnt，（t＞0），利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得-$\frac{3}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}$＞0），
令m=（t-2e）lnt，（t＞0），
则m′=lnt+$\frac{t-2e}{t}$，m''=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
当x＞e时，m′＞m′（e）=0，
当0＜x＜e时，m′＜m′（e）=0，
∴m≥m（e）=-e，
∴-$\frac{3}{a}$≥-e，
解得a＜0或a≥$\frac{3}{e}$．
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[$\frac{3}{e}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．