Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$的最小值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAC），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），则y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象可知当直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点是，直线的截距最大，此时z最大为2．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得C（1，1），
代入目标函数z=ax+by得a+b=2．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+1）=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）≥1+$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$即a=b=1时取等号，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{{{b^{\;}}}}$的最小值为2．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用基本不等式的性质可求表达式的最小值．