Question

20．在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，BC=2，AD=6，且$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=2，则四面体ABCD的体积的最大值为$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，作BE⊥AD于E，连接CE，取BC中点F，求出BE的最大值，得到EF的最大值，从而求得四面体ABCD的体积的最大值．

解答 解：如图，
在△ADB中，由题知，AD=6，AB=2BD，
在平面ADB内，若以AD所在直线为x轴，以AD的中垂线为y轴建系，
则A（-3，0），D（3，0），设B（x，y），
由AB=2BD，得$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得：（x-5）²+y²=16，
∴B在以（5，0）为圆心，以4为半径的圆上，
同理可得，C的轨迹，
过B作BE⊥AD，交于E，连接CE，
∵AD⊥BC，BE⊥AD，且BC∩BE=B，
∴AD⊥平面BEC，则AD⊥CE，
由对称性可知，BE=EC，
取BC中点F，连接EF，则EF⊥BC，又BC=2，
∴当B的纵坐标取最大值4时，EF有最大值为$\sqrt{{4}^{2}-1}=\sqrt{15}$，
∴四面体ABCD的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}×6=2\sqrt{15}$．
故答案为：$2\sqrt{15}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属中档题．