Question

已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为(xP，yP)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同时为零． 当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组 解得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　 　　   由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组 　　 　　 　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   解得 当点P在y< span style='mso-bidi-font-size:10.5pt;font-family:宋体;mso-ascii -font-family:"Times New Roman"; mso-hansi-font-family:"Times New Roman";color:black'>轴上时，经验证①－④式也成立． 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得 将①－④代入上式，化简整理得 因x与xp同号或y与同号，以及③、④知2x+3y>0，故点Q的轨迹方程为 (其中x，y不同时为零)． 所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点． 解法二：由题设知点Q不在原点．设P，R，Q的坐标分别为(xp，yp)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同时为零． 设OP与x轴正方向的夹角为α，则有     xp=|OP|cosα，yp=|OP|sinα；     xR=|OR|cosα，yR=|OR|sinα； x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα； 由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得 　　 　　 　　 ① 　　   　　   　　 ② 　　   　　   　　 ③ 　　   　　   　　 ④ 　　 　　   由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程组 ，    ⑤ ，    ⑥ 将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q的轨迹方程为 (其中x，y不同时为零)． 所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．