Question

已知函数f(x)＝x3－ax＋1.

(1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；

(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；

(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）1 （2）见解析 （3）(－∞，－1)

【解析】(1)因为f′(x)＝x2－a，

当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.

又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意．

(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，

当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，

当0＜a＜1时，＜1，

x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.

当a≥1时，≥1，

x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

综上所述，

当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；

当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－；

当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

(3)因为?m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，

所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，

只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，

而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，

所以－a＞－1，即a＜1.

所以a的取值范围是(－∞，－1)．