Question

17．已知集合A={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m，n∈Z}．
（1）试分别判断x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$，x₃=（1-2$\sqrt{2}$）²与集合A的关系；
（2）设x₁，x₂∈A，证明：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 （1）根据集合A的表示可知，满足$x=m+\sqrt{2}n$，其中m，n∈Z的x为集合A的元素，从而判断一个元素是不是集合A的元素，就看能否将这个元素写成$m+\sqrt{2}n$，（m，n∈Z）的形式，从而便可判断x₁，x₂，x₃和集合A的关系；
（2）由x₁，x₂∈A便可将x₁，x₂分别写成$m+\sqrt{2}n$（m，n∈Z）的形式，然后判断能否将x₁•x₂写成该形式，从而便可证出x₁•x₂∈A；

解答 （1）解：m=0，n=-1时，$x=-\sqrt{2}$；
∴x₁∈A；
${x}_{2}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}=1+\frac{1}{2}•\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}∉Z$；
∴x₂∉A；
${x}_{3}=1-4\sqrt{2}+8=9-\sqrt{2}•4$；
∴x₃∈A；
（2）证明：∵x₁，x₂∈A；
∴${x}_{1}={m}_{1}+\sqrt{2}{n}_{1}，{x}_{2}={m}_{2}+\sqrt{2}{n}_{2}$，m_i，n_i∈Z，i=1，2；
∴${x}_{1}{x}_{2}=（{m}_{1}+\sqrt{2}{n}_{1}）（{m}_{2}+\sqrt{2}{n}_{2}）$=$（{m}_{1}{m}_{2}+2{n}_{1}{n}_{2}）+\sqrt{2}（{m}_{1}{n}_{2}+{n}_{1}{m}_{2}）$；
∵m₁m₂+2n₁n₂，m₁n₂+n₁m₂∈Z；
∴x₁•x₂∈A．

点评 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及元素与集合关系的判断方法．