Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，数列{b_n}满足的前n项和．
（1）若{a_n}的公差等于首项a₁，证明对于任意正整数n都有；
（2）若{a_n}中满足3a₅=8a₁₂＞0，试问n多大时，S_n取得最大值？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：当n=1时，，∴原命题成立
假设当n=k时，成立
则=
∴当n=k+1时，命题也成立
故对于任意正整数n都有；（6分）
（2）解：∵3a₅=8a₁₂，∴
∴，
∴b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0
∴S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆
又
∴a₁₅＜|a₁₈|，∴|b₁₅|＜b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0
∴S₁₆＞S₁₄
故S_n中S₁₆最大（12分）
分析：（1）用数学归纳法证明：当n=1时，原命题成立；假设当n=k时，成立，利用S_k+1=S_k+b_k+1，可证当n=k+1时，命题也成立
（2）根据3a₅=8a₁₂，可得，，从而b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，进而可知S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆，由此可得S_n中S₁₆最大．
点评：本题考查数学归纳法的证明，考查数列的求和，考查函数思想，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．