Question

7．已知$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$是两个非零向量，且|$\overrightarrow{m}$|=2，|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，则|2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|+|$\overrightarrow{n}$|的最大值为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7\sqrt{3}}{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，得${\overrightarrow{n}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，得出|2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|+|$\overrightarrow{n}$|关于|$\overrightarrow{n}$|的函数，求出此函数的最值即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{m}$|=2，|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$|=2，
∴（$\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}$）²=4${\overrightarrow{n}}^{2}$+4$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+4=4，
∴${\overrightarrow{n}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴（2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）²=4${\overrightarrow{m}}^{2}$+4$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+${\overrightarrow{n}}^{2}$=16+3$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=16-3${\overrightarrow{n}}^{2}$，
∴|2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|+|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{16-3|\overrightarrow{n}{|}^{2}}$+|$\overrightarrow{n}$|，
令|$\overrightarrow{n}$|=x（0＜x≤$\frac{4}{\sqrt{3}}$），f（x）=$\sqrt{16-3{x}^{2}}$+x，
则f′（x）=$\frac{-6x}{2\sqrt{16-3{x}^{2}}}$+1，令f′（x）=0得x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴当0$＜x＜\frac{2}{\sqrt{3}}$时，f′（x）＞0，当$\frac{2}{\sqrt{3}}＜x＜\frac{4}{\sqrt{3}}$时，f′（x）＜0，
∴当x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了向量的模的求法，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数研究函数的极值，是中档题．