Question

14．海南华侨中学三亚学校2016年元旦晚会即将到来，现有高三2班3名学生，其中2名男生；高三3班5名学生，其中3名男生．要从这8名学生中随机选择4人参加元旦晚会的开场舞．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2 名男生，且这2名男生来自同一个班”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．
（II）利用超几何分别的概率计算公式、分布列及其数学期望即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有$P（A）=\frac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\frac{6}{35}$，∴事件A发生的概率为$\frac{6}{35}$．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.$P（X=k）=\frac{{C_5^kC_3^{4-k}}}{C_8^4}（k=1，2，3，4）$．
所以，随见变量X的分布列为

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

随机变量X的数学期望$E（X）=1×\frac{1}{14}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{3}{7}+4×\frac{1}{14}=\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了互斥事件与古典概率计算公式、超几何分别的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．