Question

6．证明：sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx））），x∈R．

Answer 1

分析 由sinx，cosx的最小正周期为2π，考虑当x∈[0，2π）时，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．成立．分别证明当x=0时，当x=π时，当x=$\frac{3π}{2}$时，当x∈（$\frac{3π}{2}$，2π）时，当x∈（π，$\frac{3π}{2}$）时，由正弦函数，余弦函数的函数值的符号可得；证明当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，运用正弦函数单调性即可得证；再同样证明当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，运用单调性即可得证．

解答 证明：由sinx，cosx的最小正周期为2π，
只要证明：当x∈[0，2π）时，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．
当x=0时，sin0=0，cos0=1，不等式的左边=0，右边＞0，不等式成立；
当x=π时，sinπ=0，cosπ=-1，不等式的左边=0，右边＞0，不等式成立；
当x=$\frac{3π}{2}$时，sin$\frac{3π}{2}$=-1，cos$\frac{3π}{2}$=0，不等式的左边＜0，右边＞0，不等式成立；
当x∈（$\frac{3π}{2}$，2π）时，sinx＜0，cosx＞0，不等式的左边＜0，右边＞0，不等式成立；
当x∈（π，$\frac{3π}{2}$）时，sinx＜0，cosx＜0，不等式的左边＜0，右边＞0，不等式成立；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即有sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，
即有sin（sinx）＜sin（$\frac{π}{2}$-cosx）=cos（cosx），
由sin（sinx）+cos（cosx）＜$\frac{π}{2}$，即0＜sin（sinx）＜$\frac{π}{2}$-cos（cosx）＜$\frac{π}{2}$，
则sin（sin（sinx））＜sin（$\frac{π}{2}$-cos（cosx））=cos（cos（cosx）），
同样可得sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））；
当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，1），0＜sinx＜1，-1＜cosx＜0．
即有sinx+cosx＜$\frac{π}{2}$，即0＜sinx＜$\frac{π}{2}$-cosx＜$\frac{π}{2}$，
则sin（sinx）＜sin（$\frac{π}{2}$-cosx）=cos（cosx），
同上可得sin（sin（sinx））＜sin（$\frac{π}{2}$-cos（cosx））=cos（cos（cosx）），
同样可得sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx）））．
综上可得，sin（sin（sin（sinx）））＜cos（cos（cos（cosx））），x∈R．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三角函数的周期性，以及分类讨论的思想方法，考查正弦函数的单调性，属于难题．