Question

9．已知F是抛物线y²=2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，若直线AB的斜率为3，则线段AB的中点P的坐标为（　　）

• A． （1，$\frac{2}{3}$）
• B． （1，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，可得线段AB的中点横坐标，利用点差法，结合直线AB的斜率为3，可得线段AB的中点纵坐标，即可求出线段AB的中点P的坐标．

解答 解：∵F是抛物线y²=2x的焦点，
∴F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程x=-$\frac{1}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=3，
∴x₁+x₂=2，
∴线段AB的中点横坐标为1，
∵y²=2x，
∴y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂）
∵直线AB的斜率为3，
∴y₁+y₂=$\frac{2}{3}$
∴线段AB的中点纵坐标为$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．