Question

15．在平面直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁）与Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．现给出下列4个命题：
①已知P（1，2），Q（cos²θ，sin²θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值；
②已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；
③用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$d（P，Q）；
④若P，Q是椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为6．
则下列判断正确的为（　　）

• A． 命题①，②均为真命题
• B． 命题②，③均为假命题
• C． 命题②，④均为假命题
• D． 命题①，③，④均为真命题

Answer 1

分析 先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答 解：①已知P（1，2），Q（cos²θ，sin²θ）（θ∈R），则d（P，Q）=|1-cos²θ|+|2-sin²θ|=sin²θ+2-sin²θ=2为定值；故①正确，
②已知P，Q，R三点不共线，设P（1，0），Q（0，0），R（0，1），
则d（P，Q）=|x_P-x_Q|+|y_P-y_Q|=1，
d（Q，R）=|x_Q-x_R|+|y_Q-y_R|=1．
d（P，R）=|x_P-x_R|+|y_P-y_R|=1+1=2，此时d（P，Q）+d（Q，R）=d（P，R）；
∴d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）不成立，故②错误，
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∵2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴$\sqrt{2[（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}]}$≥|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，即$\sqrt{2}$|PQ|≥d（P，Q），
则|PQ|≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$d（P，Q）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（P，Q），故③正确，
④若P，Q是$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}$=1上的任意两点，d（P，Q）的最大，设P（$\sqrt{5}$cosα，2sinα），Q（-$\sqrt{5}$cosα，-2sinα）；则d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=2（$\sqrt{5}$cosα+2sinα）=6sin（α+θ），则d（P，Q）的最大值为6；故④正确，
故选：D

点评 本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点之间的“直角距离”的含义．