题目内容
某市为了治理大气环境，尽量控制汽车尾气对空气的污染，减少雾霾．一方面鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在主城区采取对新车限量上号政策．已知该市2013年年初汽车拥有量为x1=100（单位：万辆），第n年（2013年为第1年，2014年为第2年，…）年初的拥有量记为xn（单位：万辆），该年度汽车的年增长量yn（单位：万辆）满足yn=λxn（1-
），其中λ为常数，且λ∈（0，1）．
（1）若λ=
，问：第几年该市汽车的年增长量yn最多，最多是多少万辆？
（2）该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内？
| xn |
| 200 |
（1）若λ=
| 1 |
| 2 |
（2）该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内？
考点：数列的应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）依题yn=
xn（1-
）=-
（xn-100）2+25，由此能求出第一年该市汽车的年增长量yn最多，最多是25万辆．
（2）由xn+1=xn+λxn(1-
)，得按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即xn≤200．由已知条件利用数学归纳法能证明出该市汽车总拥有量能控制在200万辆内．
| 1 |
| 2 |
| xn |
| 200 |
| 1 |
| 400 |
（2）由xn+1=xn+λxn(1-
| xn |
| 200 |
解答：
解：（1）依题yn=
xn（1-
）
=
xn-
=-
（xn2-200xn）
=-
（xn-100）2+25
≤25．
当且仅当xn=100时，取等号，
∴第一年该市汽车的年增长量yn最多，最多是25万辆．
（2）∵xn+1=xn+yn，∴xn+1=xn+λxn(1-
)，
按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即xn≤200．证明如下：当n=1时，x1=100，成立．
假设n=k时，xk≤200成立．
则当n=k+1时，xk+1=xk+λxk(1-
)是关于xk的一个二次函数，
令f（x）=-
x2+(1+λ)x，x≤200，
其对称轴x=
＞200，
∴f（x）在（0，200）内递减，f（x）＜f（200）=200，即xk+1≤200．
综上所述，xn≤200成立．即该市汽车总拥有量能控制在200万辆内．
| 1 |
| 2 |
| xn |
| 200 |
=
| 1 |
| 2 |
| xn2 |
| 400 |
=-
| 1 |
| 400 |
=-
| 1 |
| 400 |
≤25．
当且仅当xn=100时，取等号，
∴第一年该市汽车的年增长量yn最多，最多是25万辆．
（2）∵xn+1=xn+yn，∴xn+1=xn+λxn(1-
| xn |
| 200 |
按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即xn≤200．证明如下：当n=1时，x1=100，成立．
假设n=k时，xk≤200成立．
则当n=k+1时，xk+1=xk+λxk(1-
| xk |
| 200 |
令f（x）=-
| λ |
| 200 |
其对称轴x=
| 100(1+λ) |
| λ |
∴f（x）在（0，200）内递减，f（x）＜f（200）=200，即xk+1≤200．
综上所述，xn≤200成立．即该市汽车总拥有量能控制在200万辆内．
点评：本题考查数列在生产生活中的实际应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归思想、函数思想的合理运用．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
过双曲线C：
-
=1的左焦点作倾斜角为
的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 9 |
| π |
| 6 |
| A、没有交点 |
| B、只有一个交点 |
| C、两个交点都在左支上 |
| D、两个交点分别在左、右支上 |