Question

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若a=1时，，求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
解答：解：（1）当a=1时，…（2分）
由g'（x）＜0解得…（4分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为；…（5分）
（2）易知，
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴…（7分）
①当即0＜a＜2时，且f（M）=-4令ax²+4x-2=-4解得…（8分）
此时M取较大的根，即…（9分）
∵0＜a＜2，∴…（10分）
②当即a≥2时，且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得…（11分）
此时M取较小的根，即…（12分）
∵a≥2，∴当且仅当a=2时取等号…（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3  …（14分）
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．