题目内容
已知直四棱锥P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是AP的中点
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）若点D在PC上的射影为F，求证：平面DEF⊥平面PCB．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）若点D在PC上的射影为F，求证：平面DEF⊥平面PCB．
考点：球的体积和表面积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）连AC交BD于O，连EO，证明EO∥PC，EO在平面EBD内，PC在平面EBD外，即可证明PC∥平面EBD；
（2）通过证明BC⊥平面PDC，利用D在PC上的射影为F，证明DF⊥PC，然后证明平面DEF⊥平面PBC．
（2）通过证明BC⊥平面PDC，利用D在PC上的射影为F，证明DF⊥PC，然后证明平面DEF⊥平面PBC．
解答：
（1）证明：连AC交BD于O，连EO
∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，于是有EO∥PC
又EO在平面EBD内，PC在平面EBD外，∴PC∥平面EBD；
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PD?平面PDC，CD?平面PDC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．
又DF在平面PDC内，∴BC⊥DF，又D在PC上的射影为F，∴DF⊥PC，
则DF⊥平面PBC
又DF?平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC．
（1）证明：连AC交BD于O，连EO∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，于是有EO∥PC
又EO在平面EBD内，PC在平面EBD外，∴PC∥平面EBD；
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PD?平面PDC，CD?平面PDC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．
又DF在平面PDC内，∴BC⊥DF，又D在PC上的射影为F，∴DF⊥PC，
则DF⊥平面PBC
又DF?平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC．
点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的证明的方法，考查空间想象能力，基本知识的灵活运用能力．
练习册系列答案
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抛物线x2=-8y的准线方程是（ ）
A、x=
| ||
| B、y=2 | ||
C、y=
| ||
| D、y=-2 |