答案：解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
A. $3x - 5 = 6(x - 1)$，化简后为$3x - 5 = 6x - 6$，即$-3x + 1 = 0$，是一元一次方程，不是一元二次方程；
B. $x^2 - 3y + 1 = 0$，含有两个未知数$x$和$y$，是二元二次方程，不是一元二次方程；
C. $x^2 - 2x - 7 = 0$，只含有一个未知数$x$，且未知数的最高次数是2，是整式方程，符合一元二次方程的定义；
D. $\frac{1}{x} = x^2 + 3$，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
综上，是一元二次方程的为C。
答案：C

答案：【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解。
给定方程为 $x^{2} + x - 12 = 0$，我们需要通过因式分解或者求根公式来找到方程的根。
这里，我们选择因式分解法。
首先，将方程 $x^{2} + x - 12 = 0$ 进行因式分解，得到：
$(x - 3)(x + 4) = 0$
由此，我们可以得到两个方程：
$x - 3 = 0$
解得 $x = 3$
$x + 4 = 0$
解得 $x = -4$
但考虑到选项中给出的可能根，我们只需关注 $x = 3$（因为 $x = -4$ 不在选项中）。
接下来，我们将 $x = 3$ 和选项中的其他数值分别代入原方程进行验证。
当 $x = 3$ 时，$3^2 + 3 - 12 = 0$，满足方程。
当 $x = -1$ 时，$(-1)^2 + (-1) - 12 \neq 0$，不满足方程。
当 $x = 4$ 时，$4^2 + 4 - 12 \neq 0$，不满足方程。
当 $x = -3$ 时，$(-3)^2 + (-3) - 12 \neq 0$，不满足方程。
因此，只有 $x = 3$ 是方程的根。
【答案】：
D. $3$

答案：【解析】：
本题主要考查了菱形的面积公式以及一元二次方程的建立。
首先，根据菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
设较长的对角线的长为$x$，则较短的对角线的长为$x - 5$（因为两条对角线的长相差5）。
根据菱形的面积公式，我们有：
$\text{面积} = \frac{1}{2} × \text{长对角线} × \text{短对角线}$
将已知的数值代入公式，我们得到：
$\frac{1}{2}x(x - 5) = 12$
这就是我们需要建立的一元二次方程。
【答案】：
D. $\frac{1}{2}x(x - 5)= 12$

答案：【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的性质。
由于$x = -2$是方程$x^{2} - mx + 2m = 0$的一个根，根据一元二次方程的定义，将$x = -2$代入方程，应满足方程等式。
即：
$(-2)^{2} - m(-2) + 2m = 0$
$4 + 2m + 2m = 0$
$4 + 4m = 0$
$4m = -4$
$m = -1$
【答案】：
A

答案：【解析】：
首先，我们需要解方程$2x^{2} - 8x + 6 = 0$。
为了解这个方程，我们可以先对方程进行因式分解。
$2x^{2} - 8x + 6 = 2(x^{2} - 4x + 3) = 2(x - 3)(x - 1) = 0$
由此，我们可以得到方程的两个
$x_{1} = 3, \quad x_{2} = 1$
接下来，我们需要从给定的数集$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$中找出这两个解。
显然，$1$和$3$都在给定的数集中。
【答案】：
$1$，$3$

答案：【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的定义。
由于$x = 1$是方程$x^{2} - 3x + c = 0$的一个根，根据一元二次方程的根的定义，将$x = 1$代入方程，应满足方程。
即：$1^{2} - 3 × 1 + c = 0$，
化简得：$1 - 3 + c = 0$，
进一步解得：$c = 2$。
【答案】：
$c = 2$。

答案：【解析】：
这是一个典型的一元二次方程应用题，涉及到矩形的面积计算。题目给出了矩形的面积和宽与长的关系，要求我们根据这些信息列出一元二次方程。
设矩形的宽为$x$步，根据题意，矩形的长就是$x + 12$步（因为宽比长少12步）。
矩形的面积公式是：$面积 = 长 × 宽$。
将给定的长和宽代入面积公式，得到：$864 = x × (x + 12)$。
这就是我们需要求解的一元二次方程。
【答案】：
$x(x + 12) = 864$。

答案：【解析】：
本题主要考查一元二次方程的一般形式及其各项系数的识别。一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项。
(1) 对于方程 $4x^2 - 1 = 5x$，移项得 $4x^2 - 5x - 1 = 0$。
(2) 对于方程 $3x(x - 3) = 2x^2 - 1$，展开并移项得 $3x^2 - 9x - 2x^2 + 1 = 0$，即 $x^2 - 9x + 1 = 0$。
(3) 对于方程 $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$，展开并移项得 $3x^2 + 6x - x - 2 + x^2 - 5x - 1 = 0$，即 $4x^2 - 3 = 0$，注意这里一次项合并后为0。
(4) 对于方程 $(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$，展开并移项得 $2y^2 - y + 10y - 5 - y^2 + 8y = 0$，即 $y^2 + 17y - 5 = 0$。
【答案】：
(1) 解：
原方程 $4x^2 - 1 = 5x$ 可以化为一般形式 $4x^2 - 5x - 1 = 0$。
其中，二次项系数为4，一次项系数为-5，常数项为-1。
(2) 解：
原方程 $3x(x - 3) = 2x^2 - 1$ 可以化为一般形式 $x^2 - 9x + 1 = 0$。
其中，二次项系数为1，一次项系数为-9，常数项为1。
(3) 解：
原方程 $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$ 可以化为一般形式 $4x^2 - 3 = 0$。
其中，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-3。
(4) 解：
原方程 $(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$ 可以化为一般形式 $y^2 + 17y - 5 = 0$。
其中，二次项系数为1，一次项系数为17，常数项为-5。

答案：【解析】：
首先，我们需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
对于给定的方程$(a - 1)x^{2} + x = 0$，要使其为一元二次方程，必须满足$a - 1 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$a \neq 1$。
【答案】：
C. $a\neq1$