Question

如图所示是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，光滑斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，圆形轨道半径为R．一个质量为m的小车（可视为质点）在A点由静止释放沿斜面滑下，当它第一次经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力为其重力的7倍，小车恰能完成圆周运动并第二次经过最低点沿水平轨道向右运动．已知重力加速度为g．             

（1）求A点距水平面的高度h；                                                             

（2）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小．                                                                                               

                                  

                                                                                                             

Answer 1

（1）设第一次小车运动到B点的速度大小为v_B，受到的支持力为N，根据牛顿第二定律：

 N﹣mg=m

依题意和牛顿第三定律：

 N=7mg

解得 v_B=

小车从A点运动到B点的过程机械能守恒，以B点位置为重力势能零点，则有：

mgh=

解得 h=3R

（2）设小车在圆轨道最高点的速度为v_C，重力提供向心力，此时根据向心力公式有：

mg=m

解得：v_c=

设小车在右半圆轨道上克服阻力做功W_f，对小车从B点运动到C的点过程，根据动能定理有

﹣mg2R﹣W_f=﹣

解得 W_f=mgR

设小车第二次经过B点时的速度为v′，对小车从B点运动到C点再回到B点的过程，根据动能定理有：

﹣2W_f=﹣

解得v′=2

答：（1）A点距水平面的高度h为3R；

（2）小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小为2．