Question

（2007?怀柔区一模）如图所示电路，电源电压保持不变，灯L的电阻不随温度变化．当开关S₁断开、S₂闭合时，电压表V₁的示数为U₁，电流表的示数为I₁；当两个开关都断开时，电压表V₂的示数为U₂，电阻R₁的功率P₁=2瓦；当只闭合S₁时，灯泡L正常发光，电流表的示数为I₃．已知U₁：U₂=5：4，I_1：I₃=2：3．求：
（1）阻值R₁与R₂之比；    
（2）灯L的额定功率P_L．

Answer 1

分析：先画出三种情况的等效电路图：①当开关S₁断开、S₂闭合时，电阻R₁和R₂串联，电压表V₁测量的是电阻R₁和R₂两端的电压，电流表A测量的是整个电路中的电流；电压表V₁的示数为U₁，电流表A示数为I₁．
②当开关S₁和S₂都断开时，电阻R₁、R₂和灯L串联，电压表V₁测量的是电阻R₁、R₂和灯L两端的电压，电压表V₂测量的是R₂和灯L两端的电压，电流表A测量的是整个电路中的电流；电压表V₂的示数为U₂，电阻R₁的功率P₁=2W．
③当只闭合开关S₁时，电路中只有灯泡L，并且灯泡L正常发光，电压表V₁测量的是灯L两端的电压．
（1）根据欧姆定律和串联电路的电压特点，结合图甲和图乙中U₁：U₂=5：4列出一个电阻的比值关系式；再结合 图甲和图丙中I₁：I₃=2：3列出一个电阻的比值关系式，结合两个关系式便可以计算出阻值R₁与R₂之比．
（2）根据欧姆定律结合图乙和图丙求出两者的电流之比，再根据P=I²R计算出电阻R₁的功率P₁与灯L的额定功率P_L之比，从而可以计算出灯L的额定功率P_L．

解答：解：S₁断开，S₂闭合时，电路如图（甲）所示．
S₁和S₂都断开时，电路如图（乙）所示．
只闭合S₁时，电路如图（丙）所示．

（1）当开关S₁断开、S₂闭合时，电路变成R₁、R₂的串联电路，如图甲所示，
有：U=U₁ ①，
I₁=

U

R1+R2

  ②，
当两个开关都断开时，电路变成灯L、R₁、R₂的串联电路，如图乙所示：
∵I=

U

R

，
∴U₂=I₂（R₂+R_L）=

U(R2+RL)

RL+R1+R2

  ③，
R₁的功率P₁=I₂²R_L=(

U

RL+R1+R2

)2 R_L=2W   ④，
当只闭合S₁时，造成R₁、R₂的短路，灯泡L正常发光，如图丙所示：
I₃=

U

RL

   ⑤，
又∵

U1

U2

=

U

U RL+R1+R2 ×(RL+R2)

=

5

4

  ⑥，
∴解得：

R1

R2+RL

=

1

4

  ⑦，
又由

I1

I2

=

U R1+R2

U RL

=

2

3

  ⑧
解得：

RL

R1+R2

=

2

3

  ⑨，
由⑦⑨得：R_L=R₂=2R₁⑩，
则

R1

R2

=

1

2

；
（2）

I2

I3

=

U R1+R2+RL

U RL

=

RL

R1+R2+RL

=

2R1

R1+2R1+2R1

=

2

5

，

P1

PL

=

I 2 2 R1

I 3 2 RL

=

22

52

×

1

2

=

2

25

，
∴PL=

25

2

×2W=25W；
答：（1）阻值R₁与R₂之比为1：2；    
（2）灯L的额定功率为25W．

点评：本题难度大，需要逐步分析，利用欧姆定律列出相应的计算式，再利用U₁：U₂=5：4，I₁：I₃=2：3和P₁=2W把各物理量联系在一起，进行推算．