Question

17．如图甲所示，重5N、高40cm、底面积为50cm²的圆柱形容器置于水平桌面上．在容器内放入一个底面积为20cm²、高为15cm的圆柱形物块，物块底部的中心通过一段细线与容器底部相连．向容器内缓慢注入水直至将其注满，如图乙所示．已知在注入水的过程中细线对物块的拉力F随水深度h的变化关系图象如图丙所示．研究表明液体对容器底部的压强计算公式为p=ρgh（g取10N/kg，h指液体的深度）．

求：（1）绳子的长度和物块的密度；
（2）绳子的最大拉力；
（3）杯中注满水时，杯底对水平桌面的压强；
（4）杯中注满水后，若再将细线剪断，当物块静止时，液体对容器底部的压强（设此过程中没有水溢出杯口）

Answer 1

分析 （1）由图丙可知，当水深为30cm以后，绳子的拉力不再发生变化，则h=30cm时圆柱体恰好完全浸没，减去圆柱体的长度即为绳子的长度；由图丙可知，当h′=25cm时，圆柱体处于临界状态，受到的浮力和自身的重力相等，减去圆柱体的长度即为此时圆柱体下表面所处的深度，根据体积求出圆柱体排开水的体积，根据阿基米德原理求出圆柱体受到的浮力即为圆柱体的重力，根据G=mg求出圆柱体的质量，根据V=Sh求出圆柱体的体积，利用密度公式求出圆柱体的密度；
（2）当物体浸没时绳子的拉力最大，根据阿基米德原理求出圆柱体受到的浮力，圆柱体的重力减去受到的浮力即为绳子的最大拉力；
（3）根据V=Sh求出容器的容积，然后减去圆柱体的体积即为杯中注满水时水的体积，根据密度公式求出水的质量，根据G=mg求出水的重力，然后加上容器和圆柱体的重力即为
杯底对水平桌面的压力，根据p=$\frac{F}{S}$求出杯底对水平桌面的压强；
（4）杯中注满水后，若再将细线剪断，求出当物块静止时水和木块浸入水中的总体积，然后除以容器的底面积即为容器内水的深度，根据p=ρgh求出液体对容器底部的压强．

解答 解：（1）由图丙可知，当水深为30cm以后，绳子的拉力不再发生变化，
则h=30cm时，圆柱体恰好完全浸没，
所以，绳子的长度：
L=h-h_圆柱体=30cm-15cm=15cm，
由图丙可知，当h′=25cm时，圆柱体处于临界状态，受到的浮力和自身的重力相等，
此时圆柱体下表面所处的深度：
h₁=h′-L=25cm-15cm=10cm，
圆柱体排开水的体积：
V_排=S_圆柱体h₁=20cm²×10cm=200cm³=2×10^-4m³，
则圆柱体的重力：
G_圆柱体=F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2×10^-4m³=2N，
由G=mg可得，圆柱体的质量：
m_圆柱体=$\frac{{G}_{圆柱体}}{g}$=$\frac{2N}{10N/kg}$=0.2kg，
圆柱体的体积：
V_圆柱体=S_圆柱体h_圆柱体=20cm²×15cm=300cm³=3×10^-4m³，
圆柱体的密度：
ρ_圆柱体=$\frac{{m}_{圆柱体}}{{V}_{圆柱体}}$=$\frac{0.2kg}{3×1{0}^{-4}{m}^{3}}$≈0.67×10³kg/m³；
（2）当物体浸没时绳子的拉力最大，此时圆柱体受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_圆柱体=1.0×10³kg/m³×10N/kg×3×10^-4m³=3N，
绳子的最大拉力：
F_拉力=G-F_浮′=3N-2N=1N；
（3）容器的容积：
V_容器=S_容器h_容器=50cm²×40cm=2000cm³=2×10^-3m³，
杯中注满水时，水的体积：
V_水=V_容器-V_圆柱体=2×10^-3m³-3×10^-4m³=1.7×10^-3m³，
容器内水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.7×10^-3m³=1.7kg，
水的重力：
G_水=m_水g=1.7kg×10N/kg=17N，
杯底对水平桌面的压力：
F_压=G_容器+G_水+G_圆柱体=5N+17N+2N=24N，
杯底对水平桌面的压强：
p=$\frac{{F}_{压}}{{S}_{容器}}$=$\frac{24N}{50×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=4800Pa；
（4）杯中注满水后，若再将细线剪断，
当物块静止时，水和木块浸入水中的总体积：
V=V_水+V_排=1.7×10^-3m³+2×10^-4m³=1.9×10^-3m³，
容器内水的深度：
h_深=$\frac{V}{{S}_{容器}}$=$\frac{1.9×1{0}^{-3}{m}^{3}}{50×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.38m，
液体对容器底部的压强：
p′=ρ_水gh_深度=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.38m=3800Pa．
答：（1）绳子的长度为15cm，物块的密度为0.67×10³kg/m³；
（2）绳子的最大拉力为1N；
（3）杯中注满水时，杯底对水平桌面的压强为4800Pa；
（4）杯中注满水后，若再将细线剪断，当物块静止时，液体对容器底部的压强为2800Pa．

点评 本题考查了密度、绳子拉力、压强的计算，明白图丙中25cm和30cm圆柱体所处的状态是解题的关键．