Question

7．3个电阻R₁、R₂和R₃，按如图所示方式连接，通电后在相等的时间内产生的热量之比为Q₁：Q₂：Q₃=1：2：10．
（1）求它们的电功率之比；
（2）求它们的电阻之比；
（3）求它们的电流之比．

Answer 1

分析 由电路图可知，R₁与R₂并联后与R₃串联．
（1）根据Q=W=Pt求出三电阻的电功率之比；
（2）根据并联电路的电压特点和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出R₁与R₂的阻值关系，根据电阻的并联表示出并联部分的电阻，根据欧姆定律表示出电路中的电流，利用P=I²R表示出R₃的电功率，再根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R₂的电功率，利用R₂与R₃的功率之比得出电阻关系然后得出答案；
（3）根据P=UI和并联电路的电压特点求出R₁与R₂的电流之比，再根据并联电路的电流特点求出三电阻的电流之比．

解答 解：由电路图可知，R₁与R₂并联后与R₃串联．
（1）由Q=W=Pt可得，三电阻的电功率之比：
P₁：P₂：P₃=$\frac{{W}_{1}}{t}$：$\frac{{W}_{2}}{t}$：$\frac{{W}_{3}}{t}$=W₁：W₂：W₃=Q₁：Q₂：Q₃=1：2：10；
（2）因并联电路中各支路两端的电压相等，
所以，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，R₁与R₂的阻值之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{1}}}{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{2}}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，则R₁=2R₂，
因并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和，
所以，并联部分的电阻：
R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2{R}_{2}×{R}_{2}}{2{R}_{2}+{R}_{2}}$=$\frac{2{R}_{2}}{3}$，
电路中的电流：
I=$\frac{{U}_{并}}{\frac{2{R}_{2}}{3}}$=$\frac{3{U}_{并}}{2{R}_{2}}$，
R₃的电功率：
P₃=I²R₃=（$\frac{3{U}_{并}}{2{R}_{2}}$）²R₃=$\frac{9{{U}_{并}}^{2}}{4{{R}_{2}}^{2}}$R₃，
则$\frac{{P}_{2}}{{P}_{3}}$=$\frac{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{9{{U}_{并}}^{2}}{4{{R}_{2}}^{2}}{R}_{3}}$=$\frac{2}{10}$，
解得：R₃=$\frac{20}{9}$R₂，
所以，R₁：R₂：R₃=2R₂：R₂：$\frac{20}{9}$R₂=18：9：20；
（3）由P=UI可得，R₁与R₂的电流之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{\frac{{P}_{1}}{{U}_{并}}}{\frac{{P}_{2}}{{U}_{并}}}$=$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即I₂=2I₁，
因并联电路中干路电流等于各支路电流之和，
所以，I₃=I₁+I₂=I₁+2I₁=3I₁，
则I₁：I₂：I₃=I₁：2I₁：3I₁=1：2：3．
答：（1）它们的电功率之比为1：2：10；
（2）它们的电阻之比为18：9：20；
（3）它们的电流之比为1：2：3．

点评 本题考查了串并联电路的特点和电功率公式、电热公式的灵活运用，计算过程要注意各量之间的关系，不要颠倒．