Question

3．演绎式探究--机械能守恒
（1）用线绳拴一个小球绕圆心O匀速转动，绳对球有一个指向圆心的拉力，此力叫向心力．向心力的大小F_心与小球的质量m成正比，与转动半径r成反比，与转动速度v的关系如图1所示．已知比例系数k为l，则向心力的数学表达式：F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．
（2）物体的动能大小公式为E_k=$\frac{1}{2}$mv²，重力势能的公式为E_P=mgh．如果让质量为m的小球在竖直的平面上转动，转动半径为r，转动中小球的机械能守恒．在某个速度v₀下，可以让小球转到最顶端时，绳子的拉力为零，此时小球的重力充当了向心力，即：向心力大小等于物体的重力．请证明：小球继续转动，到达最低点时的速度v²=5gr．

Answer 1

分析 （1）向心力的大小F_心与小球的质量m成正比，与转动半径R成反比，与转动速度v²成正比．
（2）小球转到最顶端时，绳子的拉力为零，此时F=G，根据向心力公式可以求出此时的速度，再求出此时小球的动能和机械能，根据机械能守恒求出求出到达最低点时的速度．

解答 解：（1）根据图象知，向心力F与v成二次函数关系，故与转动速度v²成正比，向心力的大小F_心与小球的质量m成正比，与转动半径r成反比，故可得关系式为：F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$；
（2）小球转到最顶端时，绳子的拉力为零，此时小球的重力充当了向心力，设小球此时的速度为v'，则G=F=m$\frac{{v'}^{2}}{r}$，则v'²=$\frac{Gr}{m}$=$\frac{mgr}{m}$=gr；
此时的动能为：E_k=$\frac{1}{2}$mv'²=$\frac{1}{2}$mgr，重力势能为：E_P=mgh=mg2r；机械能为：E=$\frac{1}{2}$mgr+mg2r=$\frac{5}{2}$mgr；
小球到达最底端时，此时的重力势能为0，由机械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv²=E=$\frac{5}{2}$mgr，解得：v²=5gr．
故答案为：（1）m$\frac{{v}^{2}}{r}$；（2）见解析．

点评 本题关键根据机械能守恒定律，小球的机械能总量不变，小球任意位置的机械能都等于初位置和最高点的机械能．