Question

6．如图甲所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车和一个定滑轮将重为G=7.8×10⁴N，高为h₀=1m，从水深为h₁=5m的河底竖直打捞上来．汽车速度为υ=0.5m/s，且保持恒定．水的密度为ρ₀=1.0×10³kg/m³，铁的密度为ρ₁=7.8×10³kg/m³．不计滑轮的摩擦和绳重，不考虑水的阻力和物体排开水的体积对水面高度的影响．请完成下列有关分析和计算．

（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值；
（2）推导出自铁块上表面与水面相平升至整体刚露出水面的过程中，绳子的拉力随时间变化的关系式（从铁块上表面与水面相平时开始计时；所有单位默认为国际主单位，本空格结果可以不带单位）
（3）在图乙中，画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象．

Answer 1

分析 （1）知道铁块的重和铁的密度，利用密度公式和重力公式求铁块的体积；当铁块浸没水中时（排开水的体积等于铁块的体积），受到水的浮力最大，利用阿基米德原理求铁块上升过程中所受浮力的最大值；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，铁块上升的高度（露出的高度）△h=vt，浸入的高度h=h₀-△h，可求排开水的体积，利用F=G-F_浮列出表达式；
（3）利用F=G-F_浮求出铁块浸没在水中、露出水面到全露出、全露出水面后的拉力大小，又知道速度大小，利用P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv求三过程的拉力功率，再作图．

解答 解：（1）由G_铁=ρ_铁V_铁g可知铁块的体积：
V=$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{7.8×1{0}^{4}N}{7.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=1m³，
根据F_浮=ρ₀V_排g可知当铁块浸没水中时，排开水的体积最大为V_排=V=1m³，
则受到水的浮力最大为：
F_浮=ρ₀V_排g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m³=1×10⁴N；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，
铁块上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排开水的体积：
V_排′=$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×V=$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$=×$\frac{{G}_{铁}}{{ρ}_{铁}g}$，
此时受到水的浮力：
F_浮′=ρ₀V_排′g=ρ₀$\frac{{h}_{0}-△h}{{h}_{0}}$×$\frac{G}{{ρ}_{1}g}$×g=$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$×$\frac{{h}_{0}-vt}{{h}_{0}}$；
绳子的拉力：
F′=G-F_浮′=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$×$\frac{{h}_{0}-vt}{{h}_{0}}$=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}g}$+$\frac{{ρ}_{0}Gv}{{ρ}_{1}{h}_{0}}$t；
（3）铁块浸没在水中，拉力：F₁=G-F_浮═7.8×10⁴N-1×10⁴N=6.8×10⁴N，
拉力功率：
P₁=F₁v=6.8×10⁴N×0.5m/s=3.4×10⁴W，
铁块上表面刚刚到达水面时h′=h-h₀=5m-1m=4m；
全露出水面后的拉力大小：F₃=G，
拉力功率：
P₃=F₃v=7.8×10⁴N×0.5m/s=3.9×10⁴W，
绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如图所示：
．
答：（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值为1×10⁴N，；
（2）绳子的拉力随时间变化的关系式为F′=G-$\frac{G{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}g}$+$\frac{{ρ}_{0}Gv}{{ρ}_{1}{h}_{0}}$t；
（3）绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如图所示．

点评 本题利用符号表示物理量，推导公式时要细心，用好下标；做好三种情况（铁块浸没在水中、露出水面到全露出、全露出水面后）下的受力分析是本题的关键．