Question

6．将n杯体积为V_A密度为ρ_A的盐水，倒入装有体积为V_B密度为ρ_B的水的大容器中
（1）混合密度ρ_n为多少？
（2）试着算算，$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$；
（3）如果密度为ρ_A的盐水有无数杯，都倒入大容器中，那么大容器中水的最终密度为多少？

Answer 1

分析 （1）知道盐水和水的密度、体积，根据m=ρV求出盐水和水总质量，两者的体积为总体积，总体积和总质量的比值即为混合密度；
（2）把混合密度代入得出表达式；
（3）分析混合密度的表达式得出盐水有无数杯时液体密度的大小．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，混合液的质量：
m=m_盐水+m_水=nρ_AV_A+ρ_BV_B，
混合的体积：
V=V_盐水+V_水=nV_A+V_B，
则混合液的密度：
ρ_n=$\frac{m}{V}$=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$；
（2）因ρ_n-ρ_B=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$-ρ_B=$\frac{n{V}_{A}（{ρ}_{A}-{ρ}_{B}）}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$，
ρ_A-ρ_n=ρ_A-$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$=$\frac{（{ρ}_{A}-{ρ}_{B}）{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$，
所以，$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$=$\frac{n{V}_{A}}{{V}_{B}}$；
（3）混合液的密度：
ρ_n=$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}+\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}}{{V}_{A}+\frac{{V}_{B}}{n}}$
盐水有无数杯，即n→∞时，$\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}$→0、$\frac{{V}_{B}}{n}$→0，
则ρ_n=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}+\frac{{ρ}_{B}{V}_{B}}{n}}{{V}_{A}+\frac{{V}_{B}}{n}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}}{{V}_{A}}$=ρ_A．
答：（1）混合密度ρ_n为$\frac{n{ρ}_{A}{V}_{A}+{ρ}_{B}{V}_{B}}{n{V}_{A}+{V}_{B}}$；
（2）$\frac{{ρ}_{n}-{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}-{ρ}_{n}}$=$\frac{n{V}_{A}}{{V}_{B}}$；
（3）如果密度为ρ_A的盐水有无数杯，都倒入大容器中，那么大容器中水的最终密度为ρ_A．

点评 本题考查了有关混合液密度的计算，要注意混合液的密度等于混合液的质量和混合液体积的比值．