Question

11．如图是某建筑工地利用滑轮组和卷扬机提起重物的示意图．当以速度v₁匀速提起质量为m₁的建筑材料时，滑轮组的机械效率为η₁，卷扬机拉力的功率为P₁；当以速度v₂匀速提起质量为m₂的建筑材料时，滑轮组的机械效率为η₂，卷扬机拉力的功率为P₂．若η₂-η₁=5%，P₁：P₂=2：3，m₁=90kg，动滑轮受到的重力G_动=100N．滑轮与轴的摩擦、细绳受到的重力忽略不计，g=10N/kg．求：
（1）提起质量为m₁的建筑材料时卷扬机对绳的拉力F₁；
（2）两次工作过程中，建筑材料上升的速度v₁与v₂之比．

Answer 1

分析 （1）根据滑轮组的省力特点F=$\frac{1}{n}$（G+G_动）计算拉力F的大小；
（2）根据η=$\frac{Gh}{（G+{G}_{动}）h}$计算滑轮组的机械效率η₁，并得到η₂，得出第二次提升物体的重力，根据功率P=Fv得出速度的关系．

解答 解：（1）由图知，滑轮组由两段绳子承担物重，设提起质量m₁的建筑材料时卷扬机对绳的拉力为F₁，根据动滑轮受力关系可得：
F₁=$\frac{1}{2}$（G₁+G_动）=$\frac{1}{2}$×（90kg×10N/kg+100N）=500N；
（2）设两次建筑材料上升高度为h，则：
η₁=$\frac{{G}_{1}h}{{G}_{1}h+{G}_{动}h}$×100%=$\frac{{G}_{1}}{{G}_{1}+{G}_{动}}$×100%=$\frac{90kg×10N/kg}{90kg×10N/kg+100N}$×100%=90%；
由题意知，η₂=η₁+5%=90%+5%=95%；
由η₂=$\frac{{G}_{2}h}{{G}_{2}h+{G}_{动}h}$=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{2}+{G}_{动}}$得：
G₂=$\frac{{G}_{动}{η}_{2}}{1-{η}_{2}}$=$\frac{100N×95%}{1-95%}$=1900N；
提起m₂所用的拉力F₂=$\frac{1}{2}$（G₂+G_动）=$\frac{1}{2}$×（1900N+100N）=1000N；
由P=Fv得，第一次提升物体绳的速度v=$\frac{{P}_{1}}{{F}_{1}}$，则此时物体上升的速度v₁=$\frac{1}{2}$v=$\frac{{P}_{1}}{{2F}_{1}}$；
第二次提升物体绳的速度v′=$\frac{{P}_{2}}{{F}_{2}}$，则此时物体上升的速度v₂=$\frac{1}{2}$v′=$\frac{{P}_{2}}{2{F}_{2}}$；
则$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}}{2{F}_{1}}$：$\frac{{P}_{2}}{2{F}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}}{2{F}_{1}}$×$\frac{2{F}_{2}}{{P}_{2}}$=$\frac{2×2×1000N}{2×500N×3}$=$\frac{4}{3}$．
答：（1）提起质量为m₁的建筑材料时卷扬机对绳的拉力F₁为500N；
（2）两次工作过程中，建筑材料上升的速度v₁与v₂之比为4：3．

点评 本题是有关滑轮组的综合计算题目，考查了滑轮组机械效率、省力特点、功率公式的应用，关键利用好所给的已知条件，有一定难度．