Question

9．有两个正方体塑料块，B的边长为l，A的边长是B的边长的2倍，A的密度为0.5ρ_水，求：
（1）塑料块A的重力；
（2）A、B分别放在水平地面时，B对地面的压强是A对地面压强的4.5倍，B的密度是多少？
（3）如图所示，将B置于A上表面后放入一个水平放置、底面是正方形，其边长是B的边长3倍的水槽，向水槽注入多少体积水后A的底面刚好能离开水槽？

Answer 1

分析 （1）已知正方体塑料块A的边长，可以得到其体积；知道塑料块A的体积和密度，根据密度公式可求出其质量，根据G=mg求出其重力；
（2）已知两正方体对水平地面的压强关系，利用柱体压强公式p=ρgh可求出B的密度；
（3）已知B正方体的边长，可以得到其体积；知道B的密度和体积，可求出B正方体的重力；
向水槽中注水时，两个正方体受到的浮力等于总重力时（恰好漂浮），A的底面就能离开水槽，结合漂浮条件和阿基米德原理求出排开水的体积；
比较两物体离开底面时排开水的体积与物体A的体积，可求出B物体浸入水中的体积；根据B物体浸入水中的体积和B的底面积，求出B浸入水的深度；
已知容器的底面积、浸入水中的总深度、排开水的总体积，可求出向水槽中注入水的体积．

解答 解：由题可知：l_A=2l，l_B=l，ρ_A=0.5ρ_水；
（1）正方体塑料块A的体积：V_A=（l_A）³=（2l）³=8l³，
根据G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$可得，塑料块A的重力：
G_A=m_Ag=ρ_AV_Ag=0.5ρ_水×8l³×g=4ρ_水gl³；
（2）正方体A、B分别放在水平地面时，A对地面的压强：
p_A=$\frac{{F}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g{l}_{A}^{3}}{{l}_{A}^{2}}$=ρ_Agl_A；
同理可得，B对地面的压强：p_B=ρ_Bgl_B；
已知 p_B=4.5p_A ，
所以，ρ_Bgl_B=4.5ρ_A gl_A，
则B的密度：ρ_B=4.5ρ_A$\frac{{l}_{A}}{{l}_{B}}$=4.5×0.5ρ_水×$\frac{2l}{l}$=4.5ρ_水 ；
（3）塑料块B的体积：V_B=（l_B）³=l³，
塑料块B的重力：
G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=4.5ρ_水×l³×g=4.5ρ_水gl³；
正方体A、B受到的总重力：G=G_A+G_B=4ρ_水gl³+4.5ρ_水gl³=8.5ρ_水gl³；
注水后，A的底面刚好能离开水槽时，整体处于漂浮状态，浮力与总重力相等，
则浮力：F_浮=G=8.5ρ_水gl³，
根据F_浮=ρ_水gV_排可得，排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{8.5{ρ}_{水}g{l}^{3}}{{ρ}_{水}g}$=8.5l³，
因为V_A=8l³，所以V_排＞V_A，说明B物体有一部分浸入水中，
则B物体排开水的体积：V_B排=V_排-V_A=8.5l³-8l³=0.5l³，
B物体浸入水中深度：h_B浸=$\frac{{V}_{B排}}{{S}_{B}}$=$\frac{0.5{l}^{3}}{{l}^{2}}$=0.5l，
此时水的深度：h=l_A+h_B浸=2l+0.5l=2.5l，
由题意可得，容器的底面积：S=（3l）²=9l²，
由图可知，Sh=V_水+V_排，

所以，向水槽中注入水的体积：
V_水=Sh-V_排=9l²×2.5l-8.5l³=14l³．
答：（1）塑料块A的重力为4ρ_水gl³；
（2）B正方体的密度为4.5ρ_水 ；
（3）向水槽中注入水的体积为14l³ ．

点评 本题考查了密度公式、重力公式、压强公式、漂浮条件和阿基米德原理的综合应用，其中对于质量分布均匀、粗细均匀的固体，可利用公式p=ρgh分析其产生的压强；本题的难点是第3问，解答此问的关键是确定B物体是否浸入水中以及通过作图的方法来帮助分析．