Question

5．圆柱形物体A和B通过细线悬挂在圆柱形容器的顶部，悬挂A物体的细线的长度为l₁，悬挂B物体的细线的长度为l₂，容器顶部有注水孔，通过该孔可向容器中注水，如图所示．当容器内注入水的质量为1kg时，细线对物体A向上的拉力为14N，水对容器底部的压强为p₁；当容器内注入水的质量为10kg水时，细线对物体A向上的拉力为6N．已知：圆柱形容器的底面积为200cm²、高为70cm；物体A和B完全相同，重力均为8N、底面积均为40cm²、高均为15cm，g取10N/kg，圆柱形容器的厚度忽略不计．
求：（1）p₁；（2）l₁．

Answer 1

分析 （1）根据平衡条件求出A、B受到的浮力，由浮力公式求出物体排开水的体积，由密度公式的变形公式求出水的体积，然后求出容器内水的深度，再应用液体压强公式求出压强．
（2））根据平衡条件求出A、B受到的浮力，由浮力公式求出物体排开水的体积，由密度公式的变形公式求出水的体积，然后求出容器内水的深度，最后求出绳子的长度．

解答 解：（1）容器内注入1kg水时，以物体A、B整体为研究对象，受力分析下图所示：

物体A、B静止，处于平衡状态，
由平衡条件得：F₁+F_浮1=G_A+G_B
将F₁=14N、G_A=G_B=8N带入上式得F_浮1=2N
物体排开水的体积为：
V_排1=$\frac{{F}_{浮1}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{2N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.0002m³=200cm³   
1kg水的体积为：V_水1=$\frac{{m}_{水1}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1kg}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.001m³=1000cm³        
容器内水的深度为：
h_水1=$\frac{{V}_{排1}+{V}_{水1}}{{S}_{容器}}$=$\frac{200c{m}^{3}+1000c{m}^{3}}{200c{m}^{2}}$=6cm，
水产生的压强：
p₁=ρ_水gh_水1=10³Kg/m³×10N/Kg×0.06m=600Pa；
（2）容器内注入10kg水时，以物体A、B整体为研究对象，受力分析如下图所示．

因为物体A、B静止，所以，F₂+F_浮2=G_A+G_B
将F₂=6N、G_A=G_B=8N带入上式得F_浮2=10N
物体排开水的体积为：
V_排2=$\frac{{F}_{浮2}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{10N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.001m³=1000cm³ 
10kg水的体积为：V_水2=$\frac{{m}_{水2}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{10kg}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.01m³=10000cm³      
容器内水的深度为：h_水2=$\frac{{V}_{排2}+{V}_{水2}}{{S}_{容器}}$=$\frac{1000c{m}^{3}+10000c{m}^{3}}{200c{m}^{2}}$=55cm，
物体A、B在水中的总高度h=$\frac{{V}_{排2}}{{S}_{物}}$=$\frac{1000c{m}^{3}}{40c{m}^{2}}$=25cm，
物体A露出水面长度h_A露=2×15cm-25cm=5cm    
由容器的高度：l=h_水2+h_A露+l₁，
解得：l₁=l-h_水2-h_A露=70cm-55cm-5cm=10cm；
答：（1）p₁为600Pa；（2）l₁为10cm．

点评 本题考查了求水的压强、绳子的长度，本题难度较大，对物体正确受力分析是正确解题的前提与关键，应用平衡条件、浮力公式、密度公式、液体压强公式即可正确解题．