Question

7．同学们在实验室里自制密度计．某同学选取了一支圆柱形铅笔，并且用一段相同的金属丝缠绕在铅笔的一端．自制的密度计可在液体中竖直漂浮．如图所示，根据它在液体中浸没的深度得知这种液体的密度．小芳的设计和制作过程如下：
①根据阿基米德原理及物体漂浮条件，推导出密度计在纯水中浸没的深度h的表达式．
②根据h的表达式，测量这支密度计自身的某些物理量，算出密度计在纯水中浸没的深度，在管上画上纯水的密度值线A（如图甲）．
③把密度计放入纯水中，验证刻度线A的位置是否准确．
请你根据上述的内容完成下列问题：
（1）把密度计放在水中使其漂浮，如图乙所示．请你推导出密度计在纯水中浸没深度的表达式h（金属丝体积不计）．
（2）请你写出②步骤中所需用的测量仪器及对应测量的物理量．
（3）步骤③中，若水面在刻度线A以上，请你简要写出一种校准的方法．
（4）若把校准后的密度计放在密度为1.1×10³ kg/m³的盐水中，液面的位置在纯水密度值刻度线上方还是下方？为什么？

Answer 1

分析 （1）要求密度计在纯水中浸没的深度，要利用密度计的使用原理，密度计在使用时处于平衡状态，此时浮力大小等于重力大小，浮力不变．然后利用浮力等于重力，求出排开液体体积的大小，再根据求出的体积，算出深度h．
（2）根据所得公式分析h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$，公式中ρπ均属已知，只需测出质量和直径．质量可以用托盘天平或弹簧测力计测出，直径可以用直尺或三角板测出．
（3）实践是检验真理的唯一标准，所以最后的结果要根据实际来校准最后的刻度线．若水面在刻度线以上，由于漂浮浮力等于重力，说明此时重力较大，为了与实际值相吻合，从铅笔上剪下适量长度的金属丝，减小密度计的重力便可．
（4）而最后一问可以根据深度公式h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$，在其他量不变的情况下，密度越大，深度越小．而盐水密度大于水的密度，所以其深度更浅，液面位置在刻度线的下方．

解答 解：（1）由于密度计处于平衡状态，F_浮=G_物，
根据F_浮=ρgV_排和G=mg可得：ρgV_排=mg，
V_排=Sh=π$（\frac{d}{2}）^{2}$h，
则，ρgπ$（\frac{d}{2}）^{2}$h=mg，
解得，h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$．
（2）根据第一问中的深度公式，可以看出我们需测出质量和直径两个物理量，另外深度也就是刻度线位置也需要测量出．所以用天平（带砝码）测量装了缠有金属丝铅笔的总质量为m；用刻度尺测量玻璃管的底面直径为d和在管上确定纯水的密度值线A的位置
（3）一切均以实际为标准，若水面在刻度线以上，这时需要剪下适量长度的金属丝减少密度计总质量，使刻度线与水面相持平．所以从铅笔上剪下适量长度的金属丝，使水面刚好在刻度线A处；
（4）由于盐水密度比水大，在浮力不变的情况下，排开液体的体积减小，则应该在刻度线的下方；因为依密度计浸没的深度公式h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$知，待测液体的密度越大，密度计浸没液体的深度越浅．
答：（1）密度计在纯水中浸没深度的表达式h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$．
（2）用天平（带砝码）测量装了缠有金属丝铅笔的总质量为m；用刻度尺测量出铅笔的直径为d和在铅笔上确定纯水的密度值线A的位置
（3）从铅笔上剪下适量长度的金属丝，使水面刚好在刻度线A处
（4）下方；因为依密度计浸没的深度公式h=$\frac{4m}{ρπ{d}^{2}}$知，待测液体的密度越大，密度计浸没液体的深度越浅．

点评 本题目比较复杂，这里所有的已知量均用字母表示，要现根据密度计的使用原理，利用公式求出最后的结果．