Question

8．如图所示是汽车起重机的示意图．A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机．作用在动滑轮上共三股钢丝绳，卷扬机转动使钢丝绳带动动滑轮上升提起重物．某次作业中，起重机将1000kg的货物从地面以0.25m/s的速度吊到5m的高度，滑轮组的机械效率为80%（g取10N/kg）求：
（1）起重机对货物做的有用功；
（2）卷扬机的输出功率为多大；
（3）立柱DE竖直，OF：FB=1：6，当重物被提起时，DF对OB的向上的作用力为多大？

Answer 1

分析 （1）知道货物质量，利用G=mg求货物重，又知道提升的高度，利用W=Gh求对货物做的有用功；
（2）知道滑轮组的机械效率，利用η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$求使用滑轮组做的总功，即卷扬机的输出功，求出做功时间，再利用P=$\frac{W}{t}$求卷扬机的输出功率；
（3）作出动力臂和阻力臂，求出阻力，利用相似三角形求出动力臂与阻力臂之比，然后根据杠杆平衡条件计算起重机立柱DF对OB的向上的作用力．

解答 解：
（1）货物的重：
G=mg=1000kg×10N/kg=1×10⁴N，
起重机对货物做的有用功：
W_有用=Gh=1×10⁴N×5m=5×10⁴ J；
（2）由题知，滑轮组的机械效率为80%，
由η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$可得，使用滑轮组做的总功（即卷扬机的输出功）：
W_总=$\frac{{W}_{有用}}{η}$=$\frac{5×1{0}^{4}J}{80%}$=6.25×10⁴J，
做功时间：
t=$\frac{h}{v}$=$\frac{5m}{0.25m/s}$=20s，
则卷扬机的输出功率：
P=$\frac{{W}_{总}}{t}$=$\frac{6.25×1{0}^{4}J}{20s}$=3125W；
（3）如图，作出动力臂ON和阻力臂OM，

在Rt△FON和Rt△BOM中，FN∥BM，
所以△FON∽△BOM，
因为OF：FB=1：6，所以OF：OB=1：7，
所以，ON：OM=1：7，
由W_总=Fs可得，绳端的拉力：
F=$\frac{{W}_{总}}{s}$=$\frac{{W}_{总}}{3h}$=$\frac{6.25×1{0}^{4}J}{3×5m}$，
因为B点受到的拉力为3段绳子向下的拉力之和，
所以B点受到的拉力：
F_B=3F=3×$\frac{6.25×1{0}^{4}J}{3×5m}$=1.25×10⁴N，
根据杠杆平衡条件可得：F_DF×ON=F_B×OM，
DF对OB的向上的作用力：
F_DF=$\frac{{F}_{B}×OM}{ON}$=$\frac{1.25×1{0}^{4}N×7}{1}$=8.75×10⁴N．
答：（1）起重机对货物做的有用功为5×10⁴J；
（2）卷扬机的输出功率为3125W；
（3）当重物被提起时，DF对OB的向上的作用力为8.75×10⁴N．

点评 本题为力学综合题，考查了重力公式、速度公式、功的公式、功率公式、效率公式、杠杆平衡条件的应用，是一道综合性很强的题目．难点在（3），关键是作出动力臂和阻力臂，利用相似三角形求出动力臂与阻力臂之比．