Question

8．要用大理石建造一座结构大体如图所示的纪念碑，设计时必须考虑它对地基的压强，假如你是设计师：

（1）说出你要搜集哪些数据（同时用字母表示搜集的数据）来估测它对地基的压强？
（2）写出估测纪念碑对地基压强的表达式p=$\frac{ρg（{a}_{1}{b}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$（用搜集的数据的字母表示）．

Answer 1

分析 要估测纪念碑对地基的压强，根据压强定义式可知，需要找到地基受到的压力和受力面积；分析整个纪念碑的组成，明确地基所受的压力等于碑体和基座的总重力，受力面积为基座与地基的接触面积；结合密度、重力、压强知识可确定需要搜集的数据、推导出纪念碑对地基压强的表达式．

解答 解：（1）整个纪念碑是由碑体和基座两部分组成，如图所示：

地基所受的压力等于碑体和基座的总重力，它们的总重力不便于测出；由于碑体和基座均为长方体，结合密度知识可知，若能收集到大理石的密度、间接测出碑体和基座的体积，就能估测它们的总质量、总重力；要测碑体和基座的体积，需要测出碑体和基座各自的长、宽、高（同时也可以算出底面积）；
综上分析可知，需收集的数据有：大理石的密度ρ，基座的长a、宽b、高h，碑体的长a₁、宽b₁、高h₁．
（2）根据G=mg=ρVg可得，碑体的重力为：G_碑=ρV_碑g=ρS_碑h₁g=ρa₁b₁h₁g，
同理可得基座的重力：G_座=ρV_座g=ρabhg，
整个纪念碑对地面的压力：F=G_碑+G_座=ρa₁b₁h₁g+ρabhg=ρg（a₁b₁h₁+abh）；
受力面积为基座与地基的接触面积，即S=ab；
则纪念碑对地基压强的表达式为：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρg（{a}_{1}{b}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$．
答：（1）要搜集的数据有：大理石的密度ρ，基座的长a、宽b、高h，碑体的长a₁、宽b₁、高h₁；
（2）p=$\frac{ρg（{a}_{1}{b}_{1}{h}_{1}+abh）}{ab}$．

点评 本题考查了估测纪念碑对地基的压强问题，涉及了重力和密度的知识，难度较大；关键要知道整个纪念碑是由碑体和基座两部分组成，难点对压力和受力面积的判断．