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20．小阳同学在科技月制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他将电表接入电路中，其电路如图所示，电源两端电压不变，R1=30Ω．当开关S闭合，S1、S2断开时，电压表示数为U1，当S、S1、S2都闭合时，电压表示数为U2，已知U1：U2=3：8；两种状态时，R2消耗的功率最大值P大和最小值P小之比为4：1；R3的最小功率为0.9W．请你帮小阳完成下列问题．
（1）画出上述两个状态的等效电路图．
（2）计算电阻R2的阻值．
（3）计算电源两端的电压．
（4）计算这个电热器模型最大档位和最小档位对应的功率分别是多少？

分析 （1）当开关S闭合，S1、S2断开时，三电阻串联，电压表测R1两端的电压；当S、S1、S2都闭合时，三电阻并联，电压表测电源的电压，电流表测R1和R2支路的电流之和，据此画出等效电路图；
（2）根据并联电路的电压特点可知图2中电压表的示数和电源的电压相等，根据串联电路的电流特点和欧姆定律表示出U1：U2=3：8即可求出图1的总电阻，根据欧姆定律求出图1中电路中的电流，根据P=IR2表示出R2的最小电功率，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R2的最大总功率，利用R2消耗的功率最大值P大和最小值P小之比为4：1即可求出R2的阻值；
（3）根据串联电路的电压特点求出图1中R3的阻值，根据P=I2R表示出R3的最小功率即可求出电源的电压；
（4）图1中，电路中的电流最小，电路的总功率最小，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出电热器的最小总功率；图2中，三电阻两端的电压最大，电路的总功率最大，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出电热器的最答总功率．

解答 解：（1）当开关S闭合，S1、S2断开时，等效电路图如图1所示；当S、S1、S2都闭合时，等效电路图如图2所示：

（2）因并联电路中各支路两端的电压相等，
所以，由图2可知，电压表的示数U2=U，
图1中，因串联电路中各处的电流相等，
所以，$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{U}_{1}}{U}$=$\frac{I{R}_{1}}{I{R}_{总}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{总}}$=$\frac{30Ω}{{R}_{总}}$=$\frac{3}{8}$，
解得：R总=80Ω，
电路中的电流I=$\frac{U}{{R}_{总}}$=$\frac{U}{80Ω}$，
图1中电路中的电流最小，R2和R3的电功率最小，则P小=I2R2=（$\frac{U}{{R}_{总}}$）2R2=$\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{{{R}_{总}}^{2}}$，
图2中R2两端的电压最大，功率最大，则P大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，
因P大：P小=4：1，
所以，$\frac{{P}_{大}}{{P}_{小}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{U}^{2}{R}_{2}}{{{R}_{总}}^{2}}}$=（$\frac{{R}_{总}}{{R}_{2}}$）2=$\frac{4}{1}$，
解得：R2=$\frac{1}{2}$R总=$\frac{1}{2}$×80Ω=40Ω；
（3）图1中，因串联电路中总电压等于各分电压之和，
所以，R3的阻值：
R3=R总-R1-R2=80Ω-30Ω-40Ω=10Ω，
R3的最小功率：
P3=I2R3=（$\frac{U}{{R}_{总}}$）2R3=（$\frac{U}{80Ω}$）2×10Ω=0.9W，
解得：U=24V；
（4）图1中，电路中的电流最小，电路的总功率最小，
则P总小=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{总}}$=$\frac{（24V）^{2}}{80Ω}$=7.2W，
图2中，三电阻两端的电压最大，电路的总功率最大，
则P总大=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$+$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（24V）^{2}}{30Ω}$+$\frac{（24V）^{2}}{40Ω}$+$\frac{（24V）^{2}}{10Ω}$=91.2W．
答：（1）上述两个状态的等效电路图如上图所示；
（2）电阻R2的阻值为40Ω；
（3）电源两端的电压为24V；
（4）这个电热器模型最大档位和最小档位对应的功率分别为91.2W、7.2W．

点评 本题考查了串并联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的应用，画出两种情况下的等效电路图是解题的基础，利用所给的电压关系和功率关系是关键．

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