Question

4．一个薄壁的瓶子内装满某种液体，已知液体的质量为m，小明同学想测出液体的密度，他用刻度尺测得瓶子高度为L，瓶底的直径为D，然后倒出部分液体（约小半瓶，正立时近弯处），如图所示，测出液面高度L₁，然后堵住瓶口，将瓶倒置，测出液面高度L₂，则液体的密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}π{D}^{2}（{L}_{1}+L-{L}_{2}）}$．

Answer 1

分析 虽然瓶子的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积V_瓶不变，瓶中水的体积V_水也不变，可将上部分不规则的空气体积V_空，用倒置后上部分规则的空气体积V_空来代替．

解答 解：因为瓶子的底面积为S=$\frac{π{D}^{2}}{4}$，
瓶中水的体积V_水=SL₁=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$，
瓶中空气体积V_空=SL₂=$\frac{π{D}^{2}（L-{L}_{2}）}{4}$，
所以酒瓶的容积为V=V_水+V_空=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$+$\frac{π{D}^{2}（L-{L}_{2}）}{4}$=$\frac{1}{4}$πD²（L₁+L-L₂），
液体密度是：ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{m}{\frac{1}{4}π{D}^{2}（{L}_{1}+L-{L}_{2}）}$．
故答案为：$\frac{m}{\frac{1}{4}π{D}^{2}（{L}_{1}+L-{L}_{2}）}$．

点评 本题考查特殊的测量方法，关键是利用等效替换法测量形状不规则部分体积，即把瓶子正放、倒放结合起来得到水的体积和空着部分的体积．