Question

5．如图甲所示，放在水平桌面上的圆柱形容器的底面积为100cm²，装有20cm深的水，容器的质量为0.02kg，厚度忽略不计．A、B是由密度不同的材料制成的两实心物块，已知B物块的体积是A物块体积的$\frac{1}{8}$．当把A、B两物块用细线相连放入水中时，两物块恰好悬浮，且没有水溢出，如图乙所示，现剪断细线，A物块上浮，稳定后水对容器底的压强变化了60Pa，物块A有$\frac{1}{4}$体积露出水面．已知水的密度为1.0×10³kg/m³，g取10N/kg．试求：
（1）如图甲所示，容器对水平桌面的压强；
（2）细线被剪断后水面的高度差；
（3）A、B两物块的密度．

Answer 1

分析 （1）根据V=Sh求出圆柱形容器内水的体积，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出水的质量，容器对水平桌面的压力等于容器和水的重力之和，根据F=G=mg求出其大小，利用p=$\frac{F}{{S}_{容}}$求出容器对水平桌面的压强；
（2）知道剪断细线后水对容器底的压强变化量，根据p=ρgh求出细线被剪断后水面的高度差；
（3）细线被剪断后A漂浮，由物块A有$\frac{1}{4}$体积露出水面可求排开水的体积，根据漂浮条件和F_浮=ρ_液gV_排、G=mg=ρVg得出等式即可求出A的密度；物块A有$\frac{1}{4}$体积露出水面，则A露出水面的体积和容器内减少水的体积相等，据此求出A的体积，进一步求出B的体积；剪断细线前，AB两物块恰好悬浮，根据F_浮=ρ_液gV_排、G=mg=ρVg得出等式即可求出B物体的密度．

解答 解：（1）圆柱形容器内水的体积：
V_水=S_容h_水=100cm²×20cm=2000cm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0g/cm³×2000cm³=2000g=2kg，
容器对水平桌面的压力：
F=G_总=（m_容+m_水）g=（0.02kg+2kg）×10N/kg=20.2N，
容器对水平桌面的压强：
p=$\frac{F}{{S}_{容}}$=$\frac{20.2N}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2020Pa；
（2）由p=ρgh可得，细线被剪断后水面的高度差：
△h=$\frac{△p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{60Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=6×10^-3m=0.6cm；
（3）细线被剪断后A漂浮，物块A有$\frac{1}{4}$体积露出水面，则V_排A=$\frac{3}{4}$V_A，
因物体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F_浮=ρgV_排和G=mg=ρVg可得：
ρ_水gV_排A=ρ_AV_Ag，
则ρ_A=$\frac{{V}_{排A}}{{V}_{A}}$ρ_水=$\frac{\frac{3}{4}{V}_{A}}{{V}_{A}}$×1.0×10³kg/m³=0.75×10³kg/m³；
物块A有$\frac{1}{4}$体积露出水面，则A露出水面的体积和容器内减少水的体积相等，即$\frac{1}{4}$V_A=S_容△h，
则物体A的体积：
V_A=4S_容△h=4×100cm²×0.6cm=240cm³，V_B=$\frac{1}{8}$V_A=$\frac{1}{8}$×240cm³=30cm³，
剪断细线前，AB两物块恰好悬浮，则
ρ_水g（V_A+V_B）=ρ_AV_Ag+ρ_BV_Bg，
B物体的密度：
ρ_B=$\frac{{V}_{A}+{V}_{B}}{{V}_{B}}$ρ_水-$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$ρ_A=$\frac{240c{m}^{3}+30c{m}^{3}}{30c{m}^{3}}$×1.0×10³kg/m³-$\frac{240c{m}^{3}}{30c{m}^{3}}$×0.75×10³kg/m³=3×10³kg/m³．
答：（1）如图甲所示，容器对水平桌面的压强为2020Pa；
（2）细线被剪断后水面的高度差为0.6cm；
（3）A物块的密度为0.75×10³kg/m³，B物块的密度为3×10³kg/m³．

点评 本题考查了压强定义式和液体压强公式、物体浮沉条件、阿基米德原理、密度公式、重力公式的综合应用，知道A露出水面的体积和容器内减少水的体积相等是关键．