Question

13．用相同材料制成的圆柱体A和B，已知圆柱体A的高度是圆柱体B的4倍，圆柱体B放在水平地面上，圆柱体A放在圆柱体B的正中央（如图），若圆柱体A对圆柱体B的压强和圆柱体B对地的压强相等，则圆柱体A的底面积与圆柱体B的底面积之比是3：4．圆柱体A和圆柱体B所受的重力G_A与G_B之比为3：1．

Answer 1

分析 （1）A对B的压力等于A的重力，受力面积为A的底面积，根据压强定义式、重力公式、密度公式把该压强表示出来；B对地面的压力等于A、B的重力之和，受力面积为B的底面积，根据压强定义式、重力公式、密度公式把该压强表示出来；已知A的高度是B的高度的4倍、两圆柱体的密度相同、两压强相同，列出方程，从而算出底面积之比．
（2）已经求出底面积之比且知道高度之比，根据G=mg和m=ρV求出圆柱体A和圆柱体B所受的重力之比．

解答 解：（1）根据题意可知，h_A=4h_B，两圆柱体的密度相同，设它们的密度均为ρ；
圆柱体A对圆柱体B的压强：
p_A对B=$\frac{{F}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{ρ{V}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{A}}$=ρgh_A；
圆柱体B对地的压力等于两个圆柱体的总重力，则圆柱体B对地的压强：
p_B对地=$\frac{{F}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g+ρ{S}_{B}{h}_{B}g}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B；
已知p_A对B=p_B对地，
所以ρgh_A=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B-----①
将h_A=4h_B代入①式可得：
ρg×4h_B=$\frac{ρ{S}_{A}×4{h}_{B}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B-----②
整理②式解得：$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）根据G=mg和m=ρV可得，圆柱体A和圆柱体B所受的重力之比：
$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{ρ{S}_{B}{h}_{B}g}$=$\frac{{S}_{A}{h}_{A}}{{S}_{B}{h}_{B}}$=$\frac{3×4{h}_{B}}{4×{h}_{B}}$=$\frac{3}{1}$．
故答案为 3：4；3：1．

点评 本题考查了质量、重力、压力和压强的计算和推导，知道B对地的压力等于两个圆柱体的总重力是解题的关键之一，同时要注意区分受力面积；根据题意列出正确的方程并求解是本题的难点．