Question

15．如图甲所示，在一个圆柱形的玻璃筒内放入一个圆柱体铝块，铝块的横截面积为 10cm²，现以恒定的速度向筒内注水 直到玻璃筒注满，筒内水的高度与注水时间关系图象如图乙所示（已知ρ_铝=2.7×10³kg/m³）．求：
（1）当水刚好浸没铝块时水对筒底的压强；
（2）注水1min时铝块受到的浮力；
（3）注满水时筒内水的质量．

Answer 1

分析 （1）根据图象中曲线的变化判断出圆柱体铝块的高度，利用p=ρgh可求得水对筒底的压强；
（2）注水1min时，根据图象圆柱体铝块浸入的深度，求出排开水的体积，利用阿基米德原理求木块受到水的浮力；
（3）先根据筒内水的高度与注水时间的关系判断出水的体积与圆柱体铝块体积的关系，从而求出注满水时水的体积，利用m=V即可求出水的质量．

解答 解：（1）由图知，当注水4min时，烧杯刚好注满；当注水2min时，水槽内的水面高度恰好与圆柱体铝块的高度相平，则圆柱体铝块高度是h=10cm=0.1m，
所以当水刚好浸没铝块时受到的水的压强 p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=1×10³Pa；  
（2）由图知，当注水1min时，水槽内的水面高度h₁=5cm=0.05m，
则铝块排开水的体积V_排=10cm²×5cm=50cm³=5×10^-3m³，
铝块受到的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m³=0.5N；
（3）由于注水时时均匀注入的，则在前2min与后2min注入的水的体积相同，由图象可知：前2min水升高的高度是后2min水升高的高度的2倍，故根据（S_容-S_铝）×h=S_容×$\frac{1}{2}$h可得S_容=2S_铝．
则注入的水的体积V=S_容h′-S_铝h=2S_铝h′-S_铝h=2×10cm²×15cm-10cm²×10cm=200cm²=2×10^-4m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得：m_水=ρV=1.0×10³kg/m³×2×10^-4m³=0.2kg．
答：（1）当水刚好浸没铝块时水对筒底的压强为1×10³Pa；
（2）注水1min时铝块受到的浮力为5N；
（3）注满水时筒内水的质量为0.2kg．

点评 本题考查了液体压强的计算、阿基米德原理、液体压强的计算，知识点多、综合性强，属于难题．由函数变化关系研究事件变化情况及准确的关系式．