Question

2．如图甲所示，一个不计外壁厚度且足够高的柱形容器放在水平桌面上，容器中立放着一个底面积为100cm²、高为12cm均匀实心长方体木块A，A的底部与容器底用一根细绳连在一起．现慢慢向容器中加水，当加入1.8kg的水时，木块A对容器底部的压力刚好为0，如图乙所示，此时容器中水的深度为9cm．已知细绳长度为L=8cm，ρ_水=1.0×10³kg/m³），求：
（1）当木块A对容器底部的压力刚好为0时，A受到的浮力．
（2）木块A的密度．
（3）若继续缓慢向容器中加水，当容器中的水的总质量为4.5kg时，停止加水，如图丙所示．此时将与A相连的细绳剪断，求细绳剪断前、剪断后木块静止时，水对容器底部压强的变化量．（整个过程中无水溢出）
（4）将绳子换为原长为8cm的轻质弹簧（不计弹簧的体积），从容器中没有水稻A刚好浸没，需加多少kg的水，此时，弹簧拉力为多大？（在一定范围内，弹簧受到的拉力每增大1N，弹簧的长度就伸长1cm）

Answer 1

分析 （1）根据木块A底面积和水的深度，可求木块A排开水的体积，再利用阿基米德原理求物块受到的浮力；
（2）由于木块A对容器底部的压力刚好为0，则重力与浮力相等；利用G=mg求木块的质量，再利用密度公式求木块的密度；
（3）根据水的体积求出木块A浸入水的体积，进一步求细绳剪断前、剪断后排开水的体积变化，知道容器底面积，可求水深的变化量，再利用液体压强公式求容器底所受压强改变量；
（4）根据阿基米德原理求出A刚好沉没时受到的浮力大小，与A的重力比较，根据A处于静止状态，受平衡力，求出弹簧的拉力作用，根据已知条件求出弹簧的伸长，从而得出弹簧的长度，分别求出A底面以下和以上水的体积，根据m=ρV求加水的质量．

解答 （1）已知木块A的底面积S_木=100cm²，
由乙图可知：当木块A对容器底部的压力刚好为0，水的深度为h_水=9cm；
则木块A排开水的体积：
V_排=S_木h_水=100cm²×9cm=900m³=9×10^-4m³，
木块受到的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×9×10^-4m³×10N/kg=9N；
（2）木块A的体积：V_木=S_木h_木=100cm²×12cm=1200cm³=1.2×10^-3m³，
由于木块A对容器底部的压力刚好为0，木块A处于漂浮，则G=F_浮=9N，
由G=mg=ρVg可得木块的密度：
ρ_木=$\frac{{G}_{木}}{{V}_{木}g}$=$\frac{9N}{1.2×1{0}^{-3}{m}^{3}×10N/kg}$=0.75×10³kg/m³；
（3）木块A对容器底部的压力刚好为0时，由ρ=$\frac{m}{V}$可得所加水的体积为：
V_水1=$\frac{{m}_{水1}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1.8kg}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=1.8×10^-3m³=1800cm³；
由乙图可知：V_水1=（S_容-S_木）h_水，（其中h_水=9cm）
则容器的底面积为：
S_容=$\frac{{V}_{水1}}{{h}_{水}}$+S_木=$\frac{1800c{m}^{3}}{9cm}$+100cm²=300cm²；
再次加水后容器中水的总体积为：
V_水2=$\frac{{m}_{水2}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{4.5kg}{1.0×1{0}^{3}{m}^{3}}$=4.5×10^-3m³=4500cm³；

如上图丙中可知，木块下表面以下水的体积（图中红线以下）为：
V₁=S_容L=300cm²×8cm=2400cm³，
则红线以上水的体积为：
V₂=V_水2-V₁=4500cm³-2400cm³=2100cm³，
设此时木块浸入水的深度为h′，则V₂=（S_容-S_木）h′，
所以，木块浸入水的深度：
h′=$\frac{{V}_{2}}{{S}_{容}{-S}_{木}}$=$\frac{2100c{m}^{3}}{300c{m}^{2}-100c{m}^{2}}$=10.5cm，
此时木块排开水的体积为：
V_排′=S_木h′=100cm²×10.5cm=1050cm³；
若将细线剪断，木块将上浮，当木块静止时漂浮如上图丁，
由于图丁与图甲中的木块都是漂浮，则木块受到的浮力相等，排开水的体积相等，
所以，细线剪断后木块漂浮时，其排开水的体积为：
V_排″=V_排=900cm³，
细绳剪断前、剪断后，排开水的体积变化量：
△V_排=V_排′-V_排″=1050cm³-900cm³=150cm³，
则水的深度变化量：
△h═$\frac{△{V}_{排}}{{S}_{容}}$=$\frac{150c{m}^{3}}{300c{m}^{2}}$=0.5cm=5×10^-3m，
所以，水对容器底部压强的变化量：
△p=ρ_水g△h=1×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m=50Pa；
（4）实心长方体木块A刚好浸没时到的浮力：
F_浮全=ρ_水V_排全g=ρ_水V_Ag=1×10³kg/m³×12×100×10^-6m³×10N/kg=12N；
而A的重力为9N，因浮力大于重力，故弹簧伸长，A受竖直向上的浮力和竖直向下的重力作用及弹簧对A竖直向下的拉力T作用，因此时A处于静止状态，受平衡力的作用，即
G_A=F_浮全+T；
故弹簧对A的拉力：
T=G_A-F_浮全+=12N-9N=3N，
因在一定范围内，弹簧受到的拉力每增大1N，弹簧的长度就伸长1cm，故此时弹簧伸长了3cm，故弹簧总长为：
L=8cm+3cm=11cm，
故A下底面以下水的体积：
V₃=S_容L=300cm²×11cm=3.3×10cm³，
故A下底面以上水的体积：
V₄=（S_容-S_A）h_木=（300cm²-100cm²）×12cm=2.4×10cm³，
加水的总体积为：
V=V₃+V₄=3.3×10cm³+2.4×10cm³=5.7×10cm³，
故从容器中没有水到A刚好浸没，需加水的质量：
m_加=ρ_水V=1×10³kg/m³×5.7×10³×10^-6m³=5.7kg．
答：（1）A受到的浮力为9N；
（2）木块A的密度为0.75×10³kg/m³；
（3）细绳剪断前、剪断后木块静止时，水对容器底部压强的变化量为50Pa．
（4）从容器中没有水稻A刚好浸没，需加5.7kg的水，此时，弹簧拉力为3N．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对重力公式、密度公式、液体压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件、力的合成与弹簧的伸长与拉力的关系的，为压轴题．本题难点在第三问和第四问，能求出水深变化和分析弹簧的状态是本题的关键．