Question

11．如图所示，质量均为1千克的薄壁圆柱形容器甲、乙分别静止置于水平面上．甲中盛有5×10^-3米³的液体A，深度为1.2米．乙中盛有深度为1.6米的液体B，已知ρ_A=1×10³千克/米³，ρ_B=0.6×10³千克/米³．求：

物体	密度	体积
P	ρ	2V
Q	3ρ	V

（1）液体A对容器甲底部的压强P_甲，水平面对容器甲的支持力F_甲的大小．
（2）现从两容器中分别抽出高均为△h的液体后，两液体对各自容器底的压强为p_A和p_B．请通过计算比较p_A和p_B的大小关系及其对应△h的取值范围．
（3）若将甲容器内换成质量为m、密度为ρ_c的C液体．现有物体P和Q（其密度、体积的关系如上表所示），请选择一个，当把物体浸没在C中时（液体不会溢出），可使C对容器底部压强p_c′与水平地面受到的压强p_地′的比值最小．选择Q物体（选填“P”或“Q”），求p_c′与p_地′的最小比值．（用m、ρ_c、ρ、V表示）

Answer 1

分析 （1）甲容器中液体的深度和液体的密度，根据p=ρgh计算液体A对容器甲底部的压强；
计算出甲中液体重力，根据F=G_液+G_容计算水平面对甲容器的支持力；
（2）从两圆柱形容器中分别抽出高均为△h的液体后，然后根据p=ρgh得出此时对容器底的压强，进而得出容器底受到的压强大小关系及其对应的△h的取值范围；
（3）要使pc′与p_地′的最小比值，从对地面压力较大和容器底压力较小上着手考虑．

解答 解：
（1）甲容器中液体A对容器底部的压强：p_A=ρ_Agh_A=1×10³kg/m³×10N/kg×1.2m=1.2×10⁴Pa；
由ρ=$\frac{m}{V}$，
液体A的质量m_A=ρ_AV_A=1×10³kg/m³×5×10^-3m³=5kg，
水平面对容器甲的支持力F_甲=G_液+G_容=（m_A+m_容）g=（1kg+5kg）×10N/kg=60N；
（2）若从甲、乙两容器中分别抽出高均为△h的液体后，减小的压强分别为△p_A=ρ_Ag△h，△p_B=ρ_Bg△h，
则甲容器中液体A对容器底部的压强p_A=ρ_Ag（h_A-△h），
乙容器中B液体对容器底部的压强p_B=ρ_Bg（h_B-△h），
则p_A-p_B=ρ_Ag（h_A-△h）-ρ_Bg（h_B-△h）=1×10³kg/m³×g（1.2m-△h）-0.6×10³kg/m³×g（1.6m-△h）=0.4×10³kg/m³×g（0.6m-△h）；
所以：
①若p_A＞p_B，则0.6m-△h＞0，即△h＜0.6m；
②若p_A=p_B，则0.6m-△h=0，即△h=0.6m；
③若p_A＜p_B，则0.6m-△h＜0，即△h＞0.6m．由于液体A深度1.2m，所以1.2m≥△h＞0.6m
（3）甲容器内换成质量为m、密度为ρ_c的C液体．若使容器对水平地面的压力最大，则选择的物体重力较大的，
G_P=ρ×2V×g=2ρVg，G_Q=3ρ×V×g=3ρVg，
所以选择物体Q对水平地面的压力最大为F_最大=G_Q+G_C+G_容=3ρVg+mg=（3ρV+m+1kg）g，
物体浸没在C中时液体不会溢出，选体积较小的Q放入后对容器底增加的压力较小，所以C液体对容器底压力F=（m+ρ_cV）g，
p_C′：p_地′=$\frac{（m+{ρ}_{C}V）g}{S}$：$\frac{（3ρV+m+1）g}{S}$=（m+ρ_CV）：（3ρV+m+1kg）
故答案为：（1）水平面对容器甲的支持力F_甲为60N；
（2）△h＜0.6m，p_A＞p_B；△h=0.6m，p_A=p_B；1.2m≥△h＞0.6m，p_A＜p_B；
（3）Q；（m+ρ_CV）：（3ρV+m+1kg）．

点评 本题考查了学生对液体压强公式、压强定义式的掌握和运用，涉及到容器底受到液体压强的变化，要求灵活运用公式分析求解．特别是压强变化量的比值，比较复杂，要进行细心分析判断．