Question

15．甲、乙两个圆柱形容器盛有相同深度的液体，置于水平桌面（如图所示）．甲、乙两容器的底面积关系为2S₁=3S₂．甲、乙容器中液体的密度分别为ρ₁、ρ₂，液体对容器底产生的压强关系为ρ₂=2ρ₁．现将A、B两球同时分别浸在甲、乙容器的液体中，两容器中均无液体溢出．液体静止后两球均悬浮，且甲、乙两容器底受到液体的压力相等．则两容器内液体密度的关系为ρ₁=$\frac{1}{2}$ρ₂，A、B两球所受浮力的大小关系为F₁＞F₂．

Answer 1

分析 （1）题中已知两容器液体的高度相同，两容器中液体对容器底的压强关系是p₂=2p₁，因此我们就可以根据液体压强公式p=ρgh得出两容器中液体密度的大小关系；
（2）当物体放入液体中时，物体会受到液体的浮力，同时物体会排开部分液体使液面上升，从而使液体对容器底的压强变大、压力变大，由此可知物体受到的浮力等于液体对容器底部增大的压力．所以要比较A、B两球受到的浮力大小，可通过比较两容器中的液体对容器底部增大的压力得出；
那么要比较两容器中的液体对容器底部增大的压力，就需要先比较在没有放入A、B两球时，两容器中的液体对容器底部的压力．两容器中的液体对容器底部的压力大小关系可根据题中的已知条件（2S₁=3S₂，p₂=2p₁）和公式F=pS求解出来，最后用放入小球后液体对容器底的压力减去没有放入小球前液体对容器底的压力，就可以得出液体对容器底增大的压力关系，从而最终得出A、B两球受到的浮力大小关系．

解答 解：
（1）由p₂=2p₁得，p₁：p₂=1：2，
则ρ₁gh₁：ρ₂gh₂=1：2，因为h₁=h₂，所以ρ₁：ρ₂=1：2，
（2）由2S₁=3S₂得，S₁：S₂=3：2，
因为S₁：S₂=3：2，p₁：p₂=1：2，
所以液体对容器底的压力之比：
F_甲：F_乙=p₁S₁：p₂S₂=3：4，
则F_甲＜F_乙，
当小球放入液体中后，受到的浮力：F_浮=ρ_液gV_排，液体对容器底增大的压力：△F=△pS=ρ_液g△hS，其中，V_排=△hS，
所以小球放入液体中后受到的浮力等于液体对容器底增大的压力，
由于液体静止后，甲、乙两容器底受到液体的压力相等，即F_甲′=F_乙′，所以液体对容器底增大的压力F_甲′-F_甲＞F_乙′-F_乙，即A球受到的浮力大于B球受到的浮力，
因此F₁＞F₂．
故答案为：$\frac{1}{2}$；＞．

点评 解答本题时，可先分析容易的再分析复杂的．判断两种液体的密度关系比较容易，只需根据液体压强公式就可以分析出来．本题的难度在于判断两个小球受到的浮力关系，理解小球受到的浮力等于液体对容器底增大的压力是解决此题的关键．