Question

13．质量相等的甲、乙两个实心正方体放在水平地面上，其密度关系为甲小于乙．若分别在它们上部沿水平方向截去高度相等的部分后，下列说法正确的是（　　）

• A． 甲比乙剩余部分的体积小
• B． 甲比乙截去部分的体积小
• C． 甲比乙剩余部分的质量小
• D． 甲比乙截去部分的质量小

Answer 1

分析 已知甲、乙两个均匀实心正方体的质量相等和两者的密度关系，根据密度公式可求两者的体积关系，进一步根据体积公式可知两者的边长关系；当它们上部沿水平方向截去高度相等的部分后，根据体积公式表述出截去部分的体积关系，根据边长关系即可得出两者的体积关系，进一步得出剩余部分的体积关系，再根据边长关系得出剩余部分的体积关系，最后根据密度公式得出截去部分和剩余部分的质量关系．

解答 解：已知甲、乙两个均匀实心正方体的质量相等，且ρ_甲＜ρ_乙，
根据ρ=$\frac{m}{V}$可知：V_甲＞V_乙，
因为正方体的体积V=L³，
所以L_甲＞L_乙；
（1）当在它们上部沿水平方向截去高度相等的部分△h后，截去部分的体积：
V_截甲=L_甲²×△h，V_截乙=L_乙²×△h，
因为L_甲²＞L_乙²，
所以V_截甲＞V_截乙，故A不正确；
（2）根据ρ=$\frac{m}{V}$可知，截去部分的质量：
m_截甲=ρ_甲L_甲²×△h=$\frac{{ρ}_{甲}{{L}_{甲}}^{3}}{{L}_{甲}}$×△h=m_甲×$\frac{△h}{{L}_{甲}}$，m_截乙=ρ_乙L_乙²×△h=$\frac{{ρ}_{乙}{{L}_{乙}}^{3}}{{L}_{乙}}$×△h=m_乙×$\frac{△h}{{L}_{乙}}$
因为L_甲＞L_乙，m_甲=m_乙，
所以$\frac{△h}{{L}_{甲}}$＜$\frac{△h}{{L}_{乙}}$，即m_截甲＜m_截乙，；
（3）因为L_甲＞L_乙，
所以L_甲-△h＞L_乙-△h，
L_甲²（L_甲-△h）＞L_乙²（L_乙-△h）即V_剩甲＞V_剩乙，故A错误，B正确；
（4）因为m_剩=m-m_截，且m_甲=m_乙，m_截甲＜m_截乙，
所以m_剩甲＞m_剩乙，故C错误，D正确．
故选BD．

点评 本题考查了密度公式和体积公式的灵活应用，能得出两者的边长关系和已知条件的灵活应用是解决本题的关键．