Question

13．如图所示，一个W形的玻璃管，竖直固定，从两边的开口处分别注入不同的液体ABC部分是水，DEF部分是油，CGD部分是被封闭的空气．已知h₁=20cm，h₂=23cm，h₃=3cm，h₄=4cm．若此时外界为1标准大气压，计算时g取10N/kg．求：
（1）DEF部分的密度；
（2）已知封闭空气的压强与其体积的乘积是定值，为了使中间的气体体积保持不变且使BG、GE管中的液面等高，可以通过在AB、EF中加减相应的液体达到目的，则最终AB、EF管中液体的竖直高度分别是多少？

Answer 1

分析 （1）知道外界为1标准大气压，ABC部分是水并且静止，据此可以列出一个关于压强的等式，计算出CGD中封闭气体的压强．
知道CGD中封闭气体的压强和外界为1标准大气压P₀=1.01×10⁵Pa，据此可以列出一个关于压强的等式，计算出DEF部分油的密度；
（2）根据压强不变，BG、GE管中的液面等高列出相应的关系式．

解答 解：（1）ABC部分是水并且静止，外界为1标准大气压P₀=1.01×10⁵Pa，h₁=20cm=0.2m，h₄=4cm=0.04m，
由此可知，CGD部分气体的压强为：
P=P₀+P_水=P₀+ρ_水g（h₁-h₄）=1.01×10⁵Pa+1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m-0.04m）=102600Pa．
∵P=102600Pa，外界为1标准大气压P₀=1.01×10⁵Pa，h₂=23cm=0.23m，h₃=3cm=0.03m，
设DEF部分油的密度为ρ₁，
由此可知，CGD部分气体的压强为：
P=P₀+P_油=P₀+ρ_油g（h₂-h₃）=1.01×10⁵Pa+ρ₁×10N/kg×（0.23m-0.03m）=102600Pa，
∴ρ_油=0.8×10³kg/m³．
（2）要使管内部空气的体积不变，则BG、EG液体的总体积不能变化，又高度相同，所以：
h=$\frac{1}{2}$（h₃+h₄）=$\frac{1}{2}$×（3cm+4cm）=3.5cm，
根据已知条件得：
p₀+ρ_水g（h₁′-h）=102600Pa  ①
p₀+ρ_油g（h₂′-h）=102600Pa  ②
又P₀=1.01×10⁵Pa，ρ_水=1.0×10³kg/m³，ρ_油=0.8×10³kg/m³．
解得：h₁′=0.195m=19.5cm，h₂′=0.235m=23.5cm．
答：（1）DEF部分的密度为0.8×10³kg/m³；
（2）最终AB管中液体的竖直高度是19.5cm；EF管中的竖直高度为23.5cm．

点评 本题考查了学生对液体压强计算公式的理解和应用，以及对连通器原理的理解和应用，在计算过程中要注意单位的换算．第二问是本题的难点，关键能够根据体积不变判断出内部液体的高度，根据压强不变判断出外侧液体的高度．